ルジャンドル多項式は、ルジャンドル微分方程式の解 y です。
ここで、 l は多項式の次数を表す自然数です。
輪郭積分によってそれらを定義することもできます。
ここで、等高線は原点を囲み、時計回りに取られます。
最初の多項式は次のとおりです。
- $$ {P_{0}(x)=1 \,} $$
- $$ {P_{1}(x)=x\,} $$
- $$ {P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,} $$
- $$ {P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,} $$
- $$ {P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,} $$
- $$ {P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,} $$
異なる多項式間の漸化式は次のように記述されます。
- $$ {P_{n}(x)=\frac{1}{n}((2n-1)xP_{n-1}(x) – (n-1)P_{n-2}(x))\,} $$
これらの多項式はドット積に直交します
$$ {\varphi} $$
に設定$$ {\R[X]} $$
関係により: - $$ {\varphi(P,\, Q) = \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, dx} $$。