循環関数の拡張
複素数の本体では、オイラーの公式のおかげで、三角関数は次のように定義できます。
- $$ {\sin z = \frac {e^{iz} – e^{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k+1}} {(2k+1)!}}} $$
- $$ {\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} = {\cosh iz} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k}} {(2k)!}}} $$
- $$ {\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {e^{iz} – e^{-iz}} {e^{iz} + e^{-iz}}} $$
それらの相互関数と同様に、次のようになります。
- $$ {\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-z^2} \right)} $$
- $$ {\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 – iz) – \ln(1+iz) \Big)} $$
これらの関数には、複素対数と同じ不確定性の問題があります。
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