導入
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集合論では、集合は、その主な創始者である数学者ゲオルグ・カントールが述べているように、オブジェクト (集合の要素)の集合、つまり「全体として理解できる多数」を直観的に指定します。 Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten M unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden) zu einem Ganzen 」: 「セットとは、私たちの直感や思考のオブジェクトのコレクション M を意味します。 、定義され、明確であり、これらのオブジェクトは「M の要素」と呼ばれます。これは、可能性のある無限集合に関しては特に革新的でした (カントールが興味を持ったのは後者でした)。
セットの概念で主に問題となるのは、メンバーシップの関係です。つまり、要素はセットに属します。この関係の特性は、ゼルメロや他の人々が集合論で公理化したものです。数学を形式化できる可能性のある理論に対して、これで満足できることは非常に注目に値します。しかし、これはカントールの意図したものではなく、彼の理論を公理化したものでもありませんでした。
この記事の目的は、記事「素朴な集合理論」で示されているように、集合の概念に対する直感的なアプローチを提供することです。
セット、要素、およびメンバーシップ
セットは、その要素を囲む一種の仮想バッグとして見ることができ、ベン図によって適切にモデル化されます。多くの場合 (これが常に可能であるわけではありませんが)、たとえば全体を表すために「 E 」や「 A 」などの大文字のラテン文字を使用したり、「 x 」または「 n 」は、その要素に対して使用されます。
要素は、数値、幾何学的な点、線、関数、その他の集合など、あらゆる性質のものにすることができます。したがって、数学の世界の外で集合の例を簡単に示します。例:月曜日は一連の曜日の要素です。図書館は本などのコレクションです。
同じオブジェクトが複数のセットの要素になる可能性があります。4 は、整数のセットの要素であるだけでなく、偶数のセット (必ず整数) の要素でもあります。これらの最後の 2 つのセットは、無限であり、無限の要素を持ちます。
例えばxで示される要素の、例えばAで示されるセットへのメンバーシップは、次のように記述されます。
このステートメントは次のように読み取れます。
- 「 x はAに属します」、
- 「 x はAの要素です」、
- 「 x はAにあります」、
- 「 A には要素xがあります」、
- 「 A はx を所有しています」、
- または、「 A にxが含まれる」という場合もあります (曖昧さがありますが、後者の場合、 A にx が含まれるということは、 x がAの部分集合であること、つまりxが集合であり、そのすべての要素がAに属していることを意味します。 「 x はAに属します」とは大きく異なります）。
記号「∈」は、1889 年にジュゼッペ・ペアノによって導入されたギリシャ文字 ε (イプシロン) に由来します。ペアノの場合、「 x ε A 」は「 xはAです」と読み、たとえば「 x ε N 」は「 xは整数です」と読みます。 」 ε は、フランス語またはイタリア語 (「è」) の「est」(ペアノの 1889 年の論文の言語であるラテン語!) の頭文字を指します。バートランド・ラッセルは、 1903 年にペアノの表記法を『数学原理』で取り上げ、その普及に貢献する作品であり、アングロサクソン数学版で使用されているイプシロンの古びた丸め形式「ϵ」が使用されています。
関係の場合によくあることですが、この記号を取り消し線で消して、その否定、つまりオブジェクトがセットに属していないことを示します。
- 「 $$ {z \notin A} $$» は「 z はAに属さない」を意味します。
