無限の完全な結晶の状況では、電子は結晶を構成する原子の並進対称性を持つ周期的なポテンシャルにさらされます。ブロッホ波 (Felix Bloch にちなんで) は、結晶 対称性
ブロッホの定理 無限の 格子 電子 エネルギー
私たちがバプテスマを施すとしたら、
$$ {|\Psi_J width=} $$
~” > ハミルトニアンの固有状態と
$$ {| R_n width=} $$
~” > ネットワークのノード
R n にある各ポテンシャルの固有状態、すると次のようになります。
$$ {H|\Psi_J width=} $$
=E |\Psi_J>~” >. または
$$ {T_R~} $$
R の変換演算子。R がネットワークに属している場合、H と
$$ {T_R~} $$
通勤するため、同じ固有部分空間を持ちます。
結晶格子の全周期の平行移動による固有状態のノルムの不変性と平行移動の組み合わせの性質を利用して、次の固有値を取得します。
$$ {T_R ~} $$
、R は固定、次の形式で
$$ {\Lambda_R=e^{ikR}\;} $$
。
結晶の場合の波動関数の一般的な形式は次のように推定されます。
$$ {< r|\Psi_{k,n} width=} $$
=\Psi_{k,n}(r)=e^{ikr} u_{k,n}(r) ~” > ここで
$$ {u_{k,n}(r) ~} $$
結晶格子の周期に従って周期的です。
$$ {< r|\Psi_{k,n} width=} $$
=\Psi_{k,n}(r)~” > はブロッホ波と呼ばれます
ブロッホの定理の帰結 ブロッホの定理は波数 ベクトル 擬似モーメント といいます。この量が
$$ {P \over \hbar} $$
連続媒体中を移動する電子の問題から、周期的ポテンシャル内を移動する電子の問題に移るときの電子の動き。この擬似モーメントは
P に比例しません。実際の派生は
$$ {{\hbar \over i}\nabla~} $$
追加の用語を導入します
$$ {e^{ikr}{\hbar \over i}\nabla u_{k,n}(r)~} $$
。それで
$$ {\Psi_{k,n}~} $$
は運動量演算子の固有状態ではありません。より一般的には、運動量の非保存性と、無限の空間範囲の周期的ポテンシャルの文脈におけるこの量の無関係性は、驚くべきことに思えるかもしれない。その起源を理解するには、ネーターの定理を参照する必要があります。実際、ネーターの定理は、無限小の平行移動に関する空間の対称性の運動量の保存から直接得られます。しかし、結晶ポテンシャルを導入すると、対称性が破れた状態 (
微小な平行移動 に関する離散平行移動) に陥り、関連する不変量は保存される理由がなくなります。
ブリルアンゾーン 逆空間 逆数 すぐに
$$ {u_{n,k}(r) ~} $$
直接ネットワーク内で。従来、他のどのノードよりも相互ネットワークのノード 0 に近い k を選択します。このエリアは
ブリルアンの最初のゾーン です。
2 番目のブリルアン ゾーンは 、ノード 0 よりも最初のノードに近い逆数ネットワークの点と、ノード 0 までの距離の順に 2 番目のノードから構成されます。したがって、電子の状態を
完全に 記述するには、エネルギーが瞬間の多形関数であることを認める限り、最初のブリルアン ゾーンの擬似モーメント k を変更するだけで済みます。 k の一義的な関数を持つようにエネルギーを制限できるベクトル k のエネルギー関数の分岐は、エネルギー バンドと呼ばれます。分岐または対応する k 値が存在しないエネルギー区間はバンド ギャップと呼ばれます。
禁断のバンド 禁断のバンド登場 固体物理学 ほぼ自由電子 のモデルです。自由電子の波動関数から始めましょう
$$ {|k width=} $$
～” >
結晶ポテンシャルを次の形式で取得しましょう。
$$ {V(r)=\sum_{m \neq 0}V(K_m)exp(iK_mr)~} $$
まず、この電位によってもたらされる擾乱は、一般的なケースでは一次の擾乱ではあり得ないことに注意してください。実際、このポテンシャルのすべての項は振動的であり、振動項が互いに補償しない限り、十分に大きな領域にわたる波動関数 K によるそれらの平均は
$$ {|\Psi_k width=} $$
=|k>+ \sum_{m \neq 0}u(K_m)|k+K_m>~” >と：
$$ {u(K_m)={{2m.V(K_m)}\over{{\hbar^2}[E(k)-(k+K_m)^2]}}~} $$
ついでに、この波動関数は確かにブロッホ波であることに注意してください (ケットを関数形式で置き換えるだけで済みます)。 E ( k ) = k 2
$$ {(k+K_p)^2=k^2~} $$
これにより E の値が得られます。
$$ {E={{\hbar^2k^2}\over{2m}}\pm[V(K_p)]~} $$
したがって、原点から中間の点
$$ {k={-K_p\over 2}~} $$
明らかに、ブラッグ条件が検証され、E の値が変更されています。この点は明らかに最初のブリルアン ゾーンの境界上にあります。
ゾーン境界付近 近くのポイント
$$ {K_p\over 2} $$
、上記の式は発散しており、摂動的なアプローチが適切ではないことが証明されています。実際、解決策はベクトル波の再結合です。
$$ {{ K_p\over 2} + \delta k} $$
とベクトル波
$$ {{-K_p\over 2}+ \delta k} $$
。これら 2 つの準位の結合により、点付近のエネルギーバンドのバーストが発生します。
$$ {K_p\over 2} $$
そして 。これにより、エネルギーポイントの周囲に開口部が生じます
$$ {{\hbar^2 \over {2 m_e}}({K_p\over 2})^2} $$
k のどの値でも到達できないエネルギー間隔。実際、その近くにあるエネルギーは、
$$ {{K_p\over 2}} $$
は強く爆発しているため、すぐ近くの値の解にはなりません。
$$ {{\hbar^2 \over {2 m_e}}({K_p\over 2})^2} $$
。 kからさらに離れた値については、エネルギーの外乱が弱すぎてその値に近づけることはできません
$$ {{\hbar^2 \over {2 m_e}}({K_p\over 2})^2} $$
。
参考文献 Charles Kittel、固体物理学 、Wiley (1995)。 ISBN 0471111813 Ashcroft と Mermin、 『固体の物理学』 、Brooks Cole (2003、1976 年に出版された本のフランス語版)。 ISBN 2868835775 O. Madelung、 『固体物理学入門』 、Springer、1981 年。ISBN 0-387-08516-5 Blokhintsev、量子力学と物質の構造の研究への応用 、Dunod、1967。ISBN 2225509204 ブロヒンツェフ、固体物理学 
