導入
エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウスによって考案され開発されたチルンハウス法は、方程式理論の重要な点、つまり多項方程式を解くための一般的な方法を見つける試みです。この方法は、解きたい方程式を、より次数の低い他の方程式に還元しようとします。この方法は、解けないガロア群を持つ 5 次以上の方程式では間違いなく失敗します。
方法の原理
次の n 次の方程式を考えてみましょう。
- $$ { \qquad a_n x^n + a_{n – 1} x^{n – 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0} $$
このメソッドの原理は、次のように設定して変数を変更することで構成されます。
- $$ { \qquad y = b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1 x + b_0 } $$
このタイプの変換は、チルンハウス変換と呼ばれます。
この関係と解く方程式の間の x を消去することにより、次数 n および未知の y の方程式が得られます。その係数は次のように依存します。
- $$ { \qquad y^n – c = 0} $$
これを行うには、y の方程式で、1 次から n-1 までの単項式のすべての係数を 0 に設定します。したがって、n 個の未知数を含む n-1 方程式系が得られます。
- $$ { \qquad y = b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1 x + b_0 } $$
ここで、 y は値として c の n 個の根のうちの 1 つを連続して受け取ります。
したがって、n-1 次の x における n 個の方程式を解くことに戻りました。解くことができる十分に低い次数の方程式が得られるまで、この方法で操作を繰り返すことができます。
4次方程式の特別な方法
次の一般的な 4 次方程式を考えてみましょう。
で割ると
- $$ { \qquad x = z – \frac{a_3}{4a_4}} $$
次の形式の方程式に戻ります。
- $$ { \qquad z^4 + c z^2 + d z+ e = 0} $$
次のチルンハウス変換を考えてみましょう。
- $$ {y = z^2 + pz + \frac{c}{2} ~} $$
前の 2 つの関係の間で z を削除すると、y で次の 4 次方程式が得られます。
- $$ { y^4 + (cp^2-\frac{c^2}{2}+3dp+2e)y^2 + (dp^3+4ep^2-c^2p^2-2cdp-d^2)y + ep^4-\frac{cdp^3}{2}+\frac{c^3p^2}{4}-cep^2+\frac{c^2dp}{4}-dep+\frac{c^4}{16}-\frac{c^2e}{2}+\frac{cd^2}{2}+e^2 = 0 ~} $$
次に、p が次の関係を満たす場合、このレベルで 4 次の二乗方程式を取得できることがわかります。
- $$ { dp^3+4ep^2-c^2p^2-2cdp-d^2 = 0~} $$
つまり、p が 3 次方程式の解である場合:
- $$ { dx^3+(4e-c^2)x^2-2cdx-d^2 = 0~} $$
したがって、私たちは 3 次方程式を解くことに戻りました。
この方法をより正確に検討するために例を挙げてみましょう。
または、方程式を解くには次のようにします。
- $$ {x^4 + 4x^3 + 3x^2 – 8x – 10 = 0 ~} $$
聞いてみましょう:
- $$ { x = z – 1 \qquad (*)~} $$
方程式に代入すると、次のようになります。
- $$ {z^4 – 3z^2 – 6z – 2 = 0 ~} $$
チルンハウス変換を考えてみましょう。
- $$ {y = z^2 + pz – \frac{3}{2} ~} $$
前の 2 つの関係間の連続するメンバー間の積 (前の段落を参照) によって z を消去すると、次が得られます。
- $$ {y^4 – (3p^2+18p+\frac{17}{2})y^2 – (6p^3+17p^2+36p+36)y – (2p^4+9p^3+\frac{51}{4}p^2+\frac{51}{2}p+\frac{575}{16})=0 ~} $$
この方程式を 4 次の二乗方程式にしたい場合は、方程式の根の中から p を選択する必要があることがわかります。
- $$ {6x^3+17x^2+36x+36=0 ~} $$
この方程式には明らかな根があります:
- $$ {x=-\frac{3}{2} ~} $$
したがって、次のことを選択します。
- $$ {p=-\frac{3}{2} ~} $$
したがって、チルンハウスの想定される変革は次のとおりです。
- $$ {y = z^2 – \frac{3}{2}z – \frac{3}{2} ~} $$
そして、次の方程式で z を消去します。
- $$ {z^4 – 3z^2 – 6z – 2 = 0 ~} $$
以下を取得します。
- $$ {8y^4+94y^2-49=0 ~} $$
尋ねることによって：
- $$ {X = y^2 ~} $$
二次方程式に戻ります。
- $$ {8X^2+94X-49=0 ~} $$
ルートには次のようなものがあります。
- $$ {X_1 = \frac{1}{2} ~} $$
- $$ {X_2 = -\frac{49}{4} ~} $$
そこから、次の 4 つの y の値が導き出されます。
- $$ {y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} ~} $$
- $$ {y_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} ~} $$
- $$ {y_3 = \frac{7i}{2} ~} $$
- $$ {y_4 = -\frac{7i}{2} ~} $$
想定されるチルンハウス変換で報告される y の 4 つの値により、4 つの二次方程式が得られます。
- $$ {z^2 – \frac{3}{2}z – \frac{3}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} ~} $$
- $$ {z^2 – \frac{3}{2}z – \frac{3}{2} =-\frac{1}{\sqrt{2}} ~} $$
- $$ {z^2 – \frac{3}{2}z – \frac{3}{2} = \frac{7i}{2} ~} $$
- $$ {z^2 – \frac{3}{2}z – \frac{3}{2} = -\frac{7i}{2} ~} $$
これらはそれぞれ次の形式に簡略化されます。
- $$ {2z^2 – 3z – 3 – \sqrt{2} = 0 ~} $$
- $$ {2z^2 – 3z – 3 + \sqrt{2} = 0 ~} $$
- $$ {2z^2 – 3z – 3 – 7i = 0 ~} $$
- $$ {2z^2 – 3z – 3 + 7i = 0 ~} $$
これら 4 つの方程式には、それぞれ次の判別式があります。
- $$ { \triangle_1 = 33 + 8\sqrt{2} = (1+4\sqrt{2})^2 ~} $$
- $$ { \triangle_2 = 33 – 8\sqrt{2} = (1-4\sqrt{2})^2 ~} $$
- $$ { \triangle_3 = 33 + 56i = (7+4i)^2 ~} $$
- $$ { \triangle_4 = 33 – 56i = (7-4i)^2 ~} $$
2 つの根を提供する 4 つの二次方程式のそれぞれから、z の 8 つの可能な値を推定します。
- $$ {1+\sqrt{2},\frac{1}{2}-\sqrt{2},1-\sqrt{2},\frac{1}{2}+\sqrt{2},\frac{5}{2}+i,-1-i,\frac{5}{2}-i,-1+i ~} $$
4 つの値のみ:
- $$ {z_1 = 1+\sqrt{2} ~} $$
- $$ {z_2 = 1-\sqrt{2} ~} $$
- $$ {z_3 = -1-i ~} $$
- $$ {z_4 = -1+i ~} $$
方程式を確認してください。
- $$ {z^4 – 3z^2 – 6z – 2 = 0 ~} $$
他の値は、z より高い値を除去するために実行されるメンバー間の積の際に現れた寄生根です。
(*) に z の 4 つの有効な値を入れると、次が得られます。
- $$ {x_1 = \sqrt{2} ~} $$
- $$ {x_2 = -\sqrt{2} ~} $$
- $$ {x_3 = -2-i ~} $$
- $$ {x_4 = -2+i ~} $$
これは、私たちが解決しようとしている方程式の 4 つの根です。
