数学では、方程式は異なる量を結び付ける等式であり、一般にそれらの恒等性の問題を提起します。方程式を解くことは、その中に現れる量の一部、未知数、ステートメントを真にする値を与えるすべての方法を決定することで構成されます。これらの可能な値は、方程式の解と呼ばれます。方程式は、その解の集合を指すためによく使用され、特に幾何学では、数学的対象の方程式のことを、方程式の解の集合としての定義と呼びます。広い意味では、方程式という用語は平等と同義であり、多くの場合、平等が常に真であるとは限らないという意味を含みます。
方程式は、ほとんどの場合、 A = Bタイプの式として表されます。 (ただし、数学的問題は常にこの形式で明示的に表現されるわけではなく、方程式として見ることができます。) 記号で区切られた 2 つのメンバーAとBは、値が指定されていない変数 (未知数またはパラメーター) に依存します= 。未知の値を探すセットのデータを、場合によっては暗黙的に追加します。たとえば、次の方程式
- $$ {x^2+2x+1=0, \quad x \in \mathbb R} $$
未知のxは、実数− 1 を一意の解として認めます。
特定のタイプの方程式には特定の名前を予約しています。したがって、同時に検証する必要があるいくつかの単純な方程式の「組み合わせ」として記述される場合、それは方程式系または単にシステムと呼ばれます。
方程式を理解して解くために必要な特定の情報が暗示される場合があります。特に、通常の表記規則では、アルファベットの先頭の文字 ( a 、 b 、 A 、 B …) はパラメータを表し、アルファベットの末尾の文字 (主にx 、 y 、 z 、 X ) はパラメータを表します。未知のものを表します。したがって、「未知の方程式a x 2 + b x + c = 0を解きます。」
方程式の特定のカテゴリは、一般理論の主題です。したがって、方程式そのものよりもより明示的な形式で解を表現することで、特定のクラスの方程式を解くことができます。あまり好ましくないケースでは、単に溶液の存在条件とその特性を研究するだけです。
プロパティ
代数方程式が真である場合、次の演算をそれに適用できますが、新しい方程式は依然として真となります。
- 等式のどちらかの辺に任意の量を加算できます。
- 等式のどちらかの辺から任意の量を引くことができます。
- 任意の量を等式のどちらかの辺に掛けることができます。
- ゼロ以外の量は、等式のどちらかの辺を割り算できます。
- 一般に、任意の関数を等式のどちらの側にも適用できます。ただし、解の数は変更される可能性があり、これは望ましくない場合があります。
代数的性質 (1 ～ 4) は、等号が体における合同関係であることを意味します。実際にはそれが唯一のものです。実数の集合は本体であるため、これらの変換が可能になります。ただし、最初の方程式が自然数の集合において有効である場合、除算と減算では新しい方程式の真理性は維持されません。
関数 1 ～ 4 は単射関数であるため (3 の方程式の両側に 0 を掛けることを除く)、解の数は変わりません。非単射関数が真の方程式の両辺に適用された場合、結果として得られる方程式は依然として真である可能性がありますが、有用性は低くなります。形式的には、これは等価性ではなく論理的な意味合いであり、ソリューション セットの拡大につながる可能性があります。
種類
相対的な重要性のため、特定の方程式は別のクラスにグループ化されています。
- 一次方程式
- 多項式
- 微分方程式
- 偏微分方程式。
パラメトリック
パラメトリック方程式の形式は次のとおりです。
- $$ {x = x_i + a t \,} $$、
- $$ {y = y_i + b t \,} $$、
- $$ {z = z_i + c t \,} $$、
- $$ {\ldots\,} $$、
パラメータに応じて代数オブジェクトを表します
次の行があるとします。
- $$ {x = 3 – 2 t \,} $$、
- $$ {y = 4 + 5 t \,} $$、
- $$ {z = 5 + 7 t \,} $$、
対称
対称方程式の形式は次のとおりです。
- $$ {\frac{x – x_i}{a} = \frac{y – y_i}{b} = \frac{z – z_i}{c} = \cdots\,} $$、
点を通過する代数オブジェクトを表します
次の行があるとします。
ベクター
ベクトル方程式にはベクトルとスカラーの両方が含まれます。
- $$ {(x; y; z; \ldots) = (x_i; y_i; z_i; \ldots) + a (k_0; k_1; k_2; \ldots) + b (l_0; l_1; l_2; \ldots) + \cdots\,} $$、
点を通過する代数オブジェクトを表します
オブジェクトがあるとします。
- $$ {(x, y, x, \ldots) = (3; 4; 5) + a (1; 9; 12) + b (3; 2; 4)\,} $$、 と$$ {a, b \in \R\,} $$
2 つのベクトルは平行（一方が他方の倍数ではない）でも直交（2 つのベクトルの内積がゼロではない）でもないため、次のようになります。