導入
ハイパーナンバーは、チャールズ A. ミューゼス博士 (1919 – 2000) によって発見された、次元に関連付けられた数値です。ハイパーナンバーは、完全で一貫した接続された自然なシステムを形成します。ハイパーナンバーには 10 レベルがあり、それぞれに独自の算術演算と幾何学があります。
ハイパー数値タイプの選択
実数と複素数
ハイパーナンバー演算の最初の 2 つのレベルは、実数と虚数の演算に対応します。
イプシロン数
数字を使って
$$ {\varepsilon} $$
, hypernumbers プログラムは、非実数平方根 1 の基数を含む数体系に対する幅広い数学演算を定義できます。
$$ {\varepsilon^2 = 1\,} $$
しかし
$$ {\varepsilon \ne \pm 1\,} $$
(分割複素数も参照)。ハイパーナンバーの
べき乗の概念により、次の基数を含む数体系上のべき乗、根、対数が可能になります。
$$ {\varepsilon} $$
。
イプシロン数は、ハイパーナンバー プログラムの第 3 レベルに配置されます。
複素数の場合、べき乗の軌道i αと指数軌道は次のようになります。
$$ {\exp ~i\alpha} $$
虚数の基数は無効になりました。これは数値には当てはまりません。
$$ {~\varepsilon} $$
。代わりに、指数軌道については次のようになります。
パワー軌道は次のように書かれます。
注: パワー軌道には次の積が含まれます。
$$ {~\varepsilon} $$
そして
$$ {~i} $$
、これには円錐四元数演算が必要です (下記)。
例と同型写像
円形四元数と八元数
ハイパーナンバー プログラムの円形四元数と八元数は、ケイリー ディクソン構造の四元数と八元数と同一です。
双曲四元数
hypernumber プログラムの双曲四元数は、余四元数 (分割四元数) と同型です。これらは、 A. MacFarlane (1891 年に初めて言及) の双曲四元数とは異なり、結合的ではありませんが、それらと同様に乗算モジュールを提供します。
超数では、双曲四元数は 1 つの実数基数、1 つの虚数基数、および 2 つの対虚数基数で構成されます (例: {
$$ {1, \varepsilon{}_1 , \varepsilon{}_2 , i_3} $$
}、 または {
$$ {1, i_1, \varepsilon{}_2 , \varepsilon{}_3} $$
};分割複素数も参照)。 (円形) クォータニオンと同様に、その乗算は結合的ですが非可換であり、3 つの非実数基底は相互に反可換的です。
円錐四元数
円錐四元数は、{に基づいて構築されます。
$$ {1, i, \varepsilon, i_0} $$
}、 と
$$ {i_0 = \varepsilon i} $$
そして、乗算モジュールを使用して、可換的、結合的、分配的な閉じた算術 (根と対数を含む) を形成します。これらには冪等要素とゼロの約数が含まれますが、虚数要素は含まれません。円錐四元数はテッサリンと同型であり、また (多重複素数からの) 複複素数にも同型です。
対照的に、四元数と (円形) 四元数 (分割四元数) は可換ではありません (四元数には nilpotent 要素も含まれます)。
円錐四元数は、べき乗軌道を記述するために必要です。
$$ {\varepsilon\,} $$
(上) および次の対数も
$$ {\varepsilon\,} $$
:
双曲八元数
双曲八元数は、分割八元数代数と同型です。それらは、実数基数と 3 つの仮想基数 (
$$ {\sqrt{-1}\,} $$
) と 4 つの対虚の基底 (
$$ {\varepsilon\,} $$
、
$$ {\sqrt{1} \ne \pm 1\,} $$
）。
この代数は物理学の弦理論で使用されています。また、自然数系の物理学におけるディラック方程式を記述するために使用することもできます (複素数の行列代数の代わりに、以下の参考文献を参照)。
円錐形の八角形
基本的な円錐八角形
$$ {\{1, i_1, i_2, i_3,~i_0, \varepsilon{}_1, \varepsilon{}_2, \varepsilon{}_3 \}} $$
結合的だが非可換な八調数系を形成します。
部分代数
$$ {\{1,~i_0 \}} $$
は複素数と同型であり、
$$ {i_0 = i_n \varepsilon_n\,} $$
(すべての n = 1,2,3)、四元数部分代数のすべての基底に対して可換かつ結合的です
$$ {\{1,~i_1, i_2, i_3 \} } $$
。したがって、円錐八元数の底は次の形式で書くことができます。
$$ {\{ 1, i_1, i_2, i_3,~i_0, -i_0 i_1, -i_0 i_2, -i_0 i_3 \} } $$
複四元数を形成するための複素数の係数を持つ四元数への同型性を示します。
円錐形のセデニオン
ハイパーナンバー算術の特殊なケースは円錐セデニオンであり、これはモジュラー (つまり、乗法モジュールを使用した) で、代替的で柔軟な非可換代数を形成します。 Cayley-Dickson の構築により、(円形) 八元数 (実軸と 7 つの虚軸上に構築) が得られ、これは標準化された最大のモジュラー代数を形成します。
楕円複素数 (算術w )
(実数、 w ) 平面では、パワー軌道
$$ {~w^\alpha\,} $$
（と
$$ {~\alpha\,} $$
real) は楕円であるため、算術演算は複素楕円または
w複素数とも呼ばれます。これらは、ハイパーナンバー プログラムの
第 4レベルに配置されます。
wのべき乗は循環的であり、
$$ {w^0 = w^6 = 1\,} $$
そして次の整数乗:
彼らは乗算モジュールを提供します。
$$ {<(1,w), +, *>\,} $$
パワーオービット
wのべき乗軌道は次のとおりです。
指数軌道
wの指数軌道は ( a , b実数) です。
特定の場合については、
$$ {b = ~-2a\,} $$
、べき乗軌道と指数軌道は両方とも失敗します。これにより、次のようになります。
そして
バラの数字 (数字pとq )
バラの数字は、ハイパーナンバー プログラムの5 番目のレベルに配置され、準二重システムを形成します。それぞれがnilpotentであるにもかかわらず、算術演算は乗法モジュール、引数、および極形式を提供します。幾何学的には、力は
$$ {~p^\alpha\,} $$
そして
$$ {~q^\alpha\,} $$
2枚の花びらを持つバラです。
整数の累乗は次のとおりです。
彼らは乗算モジュールを提供します。
パワーオービット
{ p , q } 平面では、
$$ {~p^\alpha\,} $$
そして
$$ {~q^\alpha\,} $$
（と
$$ {~\alpha} $$
real) は 2 枚の花びらを持つバラの上に接続されており、次のように記述されます。
$$ {ap +~bq\,} $$
と
$$ {(a^2 + b^2)^2 =~(a + b)(a – b)^2} $$
。
製品ながら
$$ {( ap +~bq )( cp +~dq) = 0} $$
任意の実数 {
a ,
b ,
c ,
d } について、べき乗軌道とそれに接続された幾何学により、自明ではない乗算を実行できます。因子は同じべき乗軌道で表すことができます。例:
そして後で乗算すると
$$ {||n||~p^\alpha p^\beta =||n||~p^{(\alpha + \beta)}} $$
（と
$$ {||n|| :=~||ap + bq||*||cp + dq||} $$
絶対;
$$ {~\alpha} $$
、
$$ {~\beta} $$
本物）。したがって、乗算は平面 {
p ,
q } 内の点の表現に影響されます。
一般に、可能な表現は無限にあります。
$$ {||m||~( p^\gamma + q^\delta )} $$
（と
$$ {~||m||} $$
絶対;
$$ {~\gamma} $$
、
$$ {~\delta} $$
本当の）すべてのために
$$ {ap +~bq} $$
与えられた。ただし、乗算モジュールを使用できるのは、
pまたは
qのいずれかのべき乗軌道に沿った乗算のみです。
指数軌道
それぞれの指数軌道は次のとおりです。
(- p )、 p ^(-1)、1/ pに関する注意
C. Musès より、 「ハイパーナンバーを使用したバイオサイエンスにおけるコンピューティング: 調査」 (以下の完全な参考資料を参照):
“… -p はwを介して生成されることに注意してください:
$$ {(qw)^3 = (wq)^3 = (w^3)(q^3) = (-1)p =~-p} $$
。
pは nilpotent (
$$ {p^2 = 0, p \ne 0} $$
)、その 0 乗を 1 にすることはできません。実際には
$$ {p^0 =~0} $$
。したがって
$$ {p^{-1} \ne 1/p} $$
、そしてそれ以来
$$ {(1/p)(1/p) = 1/p^2 = \infty} $$
、それがわかります
$$ {~1/p} $$
全能性、つまり無限根です。比較するには
$$ {1/(1 \pm \varepsilon)} $$
、これは無限大の約数のペアです。」
カシノイド数 ( m数)
ハイパーナンバー プログラムの第 6レベルであるカシノイド数の算術は、カシノイドまたはカッシーニ楕円によって管理されます。それらと幾何学との関係は、乗算とその乗法モジュールを示しています。基数mの係数は絶対数であり、正の実数と同様です。それにもかかわらず、算術m はその係数の大きさに敏感です。
{real, m } 平面では、次の関係が得られます。
特性、モジュール、ハンドル
数字の場合
$$ {a +~bm} $$
の場合、「特性」
は次のように定義されます。
次に、乗算モジュールtとハンドルkが次のように定義されます。
係数と実数の区別
K. Carmody の「Cassinoid Numbers: The Musèan Hypernumber m 」 (2006 年 4 月 27 日、http://www.kevincarmody.com/math/hypernumbers.html) を引用します。
「次のような係数
$$ {\sqrt{2}} $$
表現の中で
$$ {\sqrt{2} m\,} $$
は真の実数ではありません。たとえば、実数としての -1 に
+ mを乗算すると、次のようになります。
$$ {+m\,} $$
、しかし、私たちは得ることができません
$$ {-m\,} $$
。 […]
正しくは、 +1、-1、+ m 、および-mは単位であり、それぞれの軸に沿ったそれらの倍数の係数は絶対数であり、実数とは区別され、決して負になりません。 »
