導入
代数、アラビア語起源のアル・ジャブル( الجبر ) という言葉は、一般に代数構造を研究する数学の一分野です。
代数構造の研究は、普遍代数の枠組み内で統一された方法で行うことができます。
代数学の認識論的研究はジュール・ヴイユマンによって導入されました。
歴史
古代
古代バビロニア人やエジプト人は、一次または二次方程式に変換できる問題の解き方をすでに知っていました。
たとえば、リンド・パピルス(ロンドンの大英博物館に保管されており、西暦 1650 年頃のもの) には次の記述があります。
- 100 斤のパンを航海士、職長、警備員を含む 10 人で分配し、3 人全員が 2 倍の分け前を受け取ります。一人ひとりに何を与えるべきでしょうか？
しかし、未知のものについて計算を行っているわけではないので、彼らは代数学を行っていませんでした。
西暦3世紀のディオファントスは、数としての未知数の概念を導入して代数学を実践した最初の人物であり、代数学の「父」と考えられます。
アラブ・イスラム世界
「代数」という言葉はアラビア語のアル・ジャブル( الجبر ) に由来し、これがラテン語で代数になり、「（断片の）再会」、「再構成」、または「接続」を意味します（スペイン語では代数者という言葉は代数計算を実践する人だけでなく、接骨院、骨折を整復する方法を知っている人）。
これは、 9世紀前半にアレクサンドリアのディオファントス ( 3世紀) の業績を取り上げた、ペルシャ出身の数学者アル・ハワリズミーによる著作のアラビア語でのタイトルの最初の言葉の 1 つです。後者は、未知のものを算数と呼ばれる記号で表現することを想像していました。この作品のタイトル（アル・ジャブル・ワル・ムカバラ）は、 イスラム科学と技術の成長期の一部でした（当時の文化は、すべての知識がアラビア語に翻訳され、帝国全体に広められることを望んでいた）。現代の言葉「代数」。使用される手法の大部分は、初等幾何学の結果に基づいています。このため、私たちはこれらの最初の結果を幾何代数の分野に分類することがよくあります。
フィボナッチとして知られるピサのレオナルドは、北アフリカへの旅行後、この新しい数字の書き方 (ローマ数字とは異なる) と10 進法に魅了されました。帰国後、彼はアラビア数字と 10 進法をヨーロッパに普及させた最初の一人となり、有名な続編に取り組みました。
16世紀：ヨーロッパ
オーリヤックのゲルベルト教皇は 1000 年頃にスペインからゼロをもたらしました。これはインドの発明であり、数学者のアル・ハワリズミとアブ・カミル自身が帝国中に、そしてコルドバにも知らしめたものでした。
この位置番号付けにより代数計算の時代が始まりました。最初はアル カワリズミに敬意を表して名付けられたアルゴリズムが使用され、徐々にそろばんの使用に取って代わりました。 16世紀のイタリアの数学者 (デルフェッロ、タルターリア、カルダン) は、 3次方程式(または 3 次方程式) を解きました。カルダンの学生であるフェラーリは4次方程式 (または 4 次方程式) を解き、その方法はボンベリによって完成されました。世紀の終わりに、フランス人のビエテは、根の対称関数が多項式の係数に関連付けられていることを発見しました。
17世紀までは、代数学は方程式の順序または先頭、および算術の拡張として広く特徴付けられていました。それは主に、代数方程式の解決の研究と、この解決を可能にする記号演算の漸進的な成文化から構成されます。私たちが文字を使って未知のものに注目するというアイデアを生み出したのはフランソワ・ヴィエテ（1540-1603）のおかげです。
17世紀、数学者は方程式の非実数根を計算するために、-1 の平方根の 1 つなどの「虚数」を徐々に使用してきました。実数のこの「拡張」(複素数の名前が付けられます) により、ダランベール (1746 年) とガウス (1799 年) は、代数学の基本定理(またはダランベール-ガウスの定理) を述べ、実証するようになりました。
定理—複素数における次数nの多項方程式には、ちょうど n 個の根があります(各根を可能な多重度で数えます)。
現代の定理は次のようになります。
定理—体
19世紀には、ルートの計算可能性、特に根号に基づく一般式でルートを表現できる可能性に関心が集まりました。次数 5 の方程式に関する失敗により、数学者アーベル (ヴァンデルモンド、ラグランジュ、ガウスに倣った) は方程式のすべての根の変換を深めました。エヴァリスト・ガロア (1811 – 1832) は、輝かしい回想録の中で、(多項式方程式の根の順列の群を研究することによって) 群の概念を初めて導入し、次の方程式を根号で解くことは不可能であることに到達しました。度が 5 以上。
小数部の指数を記述するという決定的なステップが講じられました。これにより、オイラーは有名な公式e i π = − 1を述べることができました。
現代代数
それ以来、現代代数学は実り豊かな旅を始めました。ブールは彼の名前を冠した代数を作成し、ハミルトンは四元数を発明し、英国の数学者ケイリー、ハミルトン、シルベスターは行列構造を研究しました。線形代数 は、長らく 2 つまたは 3 つの未知数を持つ線形方程式系の解決に限定されていましたが、 ケイリー・ハミルトンの定理(「次の係数を持つ任意の正方行列)」とともに始まりました。
20世紀初頭、ドイツのヒルベルトとフランスのポアンカレの指導のもと、数学者は数学の基礎に疑問を抱き、論理と公理化が中心となりました。ペアノは算術を公理化し、次にベクトル空間を公理化します。ベクトル空間構造と代数構造は 1925 年に Artin によってさらに発展し、他の基本的な分野も追加されました。
ヴェイユ、カルタン、デュドネが率いるフランスの学派「ニコラ・ブルバキ」は、すべての数学的知識を公理に基づいて書き換えることに取り組みました。この巨大な研究は、世紀半ばに集合論と代数から始まり、代数が普遍言語であることを確認しました。数学の。逆説的ですが、世界中で出版物の数が指数関数的に増加している一方で、知識のごく一部のみを支配していると主張できる数学者はいませんが、数学が今日ほど統一されているように見えたことはありません。