導入
線形代数は、ベクトル空間 (または線形空間)、その要素ベクトル、線形変換、および線形方程式系 (行列理論) の研究に関係する数学の分野です。
歴史
線形代数の歴史は、2 本の直線の交点などの幾何学問題を最初に一次方程式の形で提起したルネ デカルトに始まります。そして彼は、これまで分離されていた数学の2 つの分野、代数学と幾何学の間に橋を架けました。彼は線形代数の基本概念であるベクトル空間を定義していませんが、すでにそれをうまく使用しています。この発見以降、線形代数の進歩は、ジャン・ダランベールによる行列式の最初の性質の定義と分析など、一回限りの研究に限定されることになる。
線形代数がそれ自体で数学の一分野となったのは19世紀になってからです。カール・フリードリッヒ・ガウスは連立一次方程式を解く一般的な方法を発見し、マリー・エネモン・カミーユ・ジョルダンは準同型性低減の問題を決定的に解決しました。 1843 年、ウィリアム ローワン ハミルトン(ベクトルという用語の発明者) が四元数を発見しました。 1844 年、ヘルマン グラスマンは『Die Lineare Ausdehnungslehre』という本を出版しました。
20世紀の初めには、数学の現代的な形式化が誕生しました。ベクトル空間は、ほぼすべての数学分野に遍在する一般的な構造になります。
基本的なプレゼンテーション
線形代数は、2次元と 3 次元のデカルト空間におけるベクトルの研究から始まります。ここでのベクトル は、長さ(ノルム)、方向、方向の両方によって特徴付けられる線分です。その後、ベクトルを使用して、特定の物理エンティティを変位として表現したり、加算したり、スカラー (数値) を乗算したりすることで、ベクトル空間の最初の具体例を形成することができます。
現代の線形代数は、任意次元または無限次元の空間を考慮できるように拡張されています。 n次元のベクトル空間は n 空間と呼ばれます。 2 空間および 3 空間で得られた結果のほとんどは、高次元空間に拡張できます。多くの人は n 空間のベクトルを正しく理解できませんが、データを表現するのには役立ちます。ベクトルは n 個のコンポーネントを含む順序付けされたリストであるため、この環境ではこのデータを効率的に操作できます。たとえば、経済学では、8 か国の国民総生産を表す 8 次元ベクトルを作成して使用できます。
興味
最も単純な形式では、ベクトル空間の線形マップは、線、平面、または物理空間などの基本的な幾何学的空間での動きを直感的に表します。この理論の基礎は現在、紀元前3世紀にユークリッドによって構築された表現に取って代わります。広告。現代の建築は、空間の概念をあらゆる次元に一般化することを可能にします。
線形代数を使用すると、数学や力学だけでなく、自然科学や社会科学などの他の多くの分野で使用される一連のいわゆる一次方程式を解くことができます。
ベクトル空間は工学科学の基本的なツールでもあり、 オペレーショナルリサーチの多くの分野の基礎として機能します。
最後に、これは、群、環または物体の理論、関数解析、 微分幾何学、または数論などの多様な問題を解決するために数学で使用されるツールです。
