次元について詳しく解説

常識では、寸法の概念はサイズを指します。部品の寸法は、長さ、幅、深さ/厚さ、または回転部品の場合は直径です。

物理学と数学では、次元の概念は非常に特殊です。これらの概念はSFの領域に転用されました。

テクニカル

力学の分野では、「寸法」という用語は部品のサイズを指します。

絶対的な観点から言えば、部品の寸法は完全に任意に選択できますが、重要なことは、部品の最終用途と互換性があることです。

ただし、標準化の目的では、公称長さ寸法として「Renard シリーズ」の値を使用することが望ましいです。

日常的には、「寸法」という用語はオブジェクトのサイズを指します。
例と定義:

• 対象物：350×250×255mm。
  
• 説明: (L) 長さ x (l) 幅 x (h) 高さ。
  
• 形状: D = (長さ x 幅 x 高さ)

物理的な

物理学では、次元という用語は2 つのまったく異なる概念をまとめたものです。

ベクトル空間の次元

物理学ではベクトル空間の数学的概念がよく使用されます。次のように言うことで、この概念を広めることができます。

空間の次元は、状態やイベントを定義するために使用される変数の数です。

たとえば、イベントは空間内の位置 ( x 、 y 、 z ) とこのイベントが発生する時間tによって定義されるため、私たちの宇宙は4 次元であると古典的に言われています。

• 一定体積の物体 (つまり、少なくとも調査中はその特性が時間に依存しない) は 3 つの次元を持つと言われます。これは、物体内の点の 1 つを指定するには 3 つの数値 ( x 、 y 、 z ) が必要であるためです。 ;
• 厚さを無視した平面オブジェクト (紙のような) は 2 次元であると言われます。これは、オブジェクト内の点の 1 つを指定するのに 2 つの数値 ( x 、 y ) が必要だからです。
• 太さが無視される線状オブジェクト (ワイヤーなど) は、単一の数値x でオブジェクト内の点 (曲線の横座標) の 1 つを指定するのに十分であるため、1 次元であると言われます。
• サイズが無視される点オブジェクト (点など) は、ゼロ次元であると言われます。これは、一度point を指定すると、その点を見つけるためにパラメータが必要ないためです。

これらの概念は、コンピューターモデリング (2D、3D オブジェクト) で取り上げられます。

この概念は、数学的な次元の概念を翻訳したものです (下記を参照)。

量の次元

物理量の次元は、国際システムの 7 つの基本単位に関連して表現される単位です。単位を数量に変換します。

たとえば、速度は長さを時間で割った次元になります (つまり、速度の単位はメートル/秒です)。

数学

ベクトル空間の次元

数学における次元の概念は、物理学のベクトル空間の次元に対応します。

ベクトル空間に有限基数dが与えられる場合、この空間のすべての基数は基数dを持ち、この空間の次元はdになります。

(基底はベクトル空間の自由な生成族であることを思い出してください。つまり、あらゆるベクトルをこの族のベクトルの一意の線形結合に分解できます。) これは、シュタイニッツの補題の結果です。

ベクトル空間にn 個のベクトルの有限生成ファミリーがある場合、 n個を超えるベクトルのファミリーはすべて関連します。

ベクトル空間が有限基底を認めないとき、それは「無限次元」であると言います。例: 実数列のセットは無限次元のベクトル空間です。そのような空間には、任意に大きな有限の自由ファミリが存在しますが、有限生成ファミリは存在しません。

フラクタル次元

しかし、特にフラクタルの場合、上記の次元の定義は不十分です。

フォン・コッホ曲線の構築

簡略化して最初の近似として (より適切な定義については専門記事を参照)、フラクタル オブジェクトは内部相似性、つまりオブジェクトの一部が完全なオブジェクトと同一であるオブジェクトです。簡単な例であるフォン コッホ曲線を考えてみましょう。この曲線は再帰的に構築され、線分から開始し、各線分を中央に山形のある線分で置き換えます。

この操作を無限に繰り返します。この曲線は直線です (したがって、通常の意味では次元 1 です)。各ステップでその長さを 4/3 倍するので、その長さは無限であり、ステップの数は無限です。ただし、無限の直線とは異なり、フォン コッホ曲線に限りなく近い有限長の曲線をいつでも見つけることができます。したがって、実際のところ、フォン・コッホ曲線の長さが無限であることがわかった場合、それは「悪い」次元で評価しているためであり、「より良い」次元で測定することで「有用な」次元が得られると言えます。採寸、終了。

物理学における標準の概念に戻る必要があります。

• 長さの標準は固定長のルール (次元 1) です。長さを測定するには、曲線の端から端まで適合するルールの数を確認します。
• 表面の標準は、固定辺 (次元 2) を持つタイル (正方形) です。表面を測定するには、表面上に並べて配置できるタイルの数を調べます。
• 体積の標準は、固定エッジ (次元 3) を持つブロック(立方体) です。体積を測定するには、オブジェクト内に何個のブロックを積み重ねることができるかを調べます。

次元 1 のオブジェクトの長さのみを評価できます。小さな定規を使用したとしても、点にそれを含めることはできません。逆に、面上には無限の数の定規を並べて配置できます。 (これらの厚さはゼロです)。

同様に、次元 2 のオブジェクトの面積のみを評価できます。点や曲線は (非常に小さいものであっても) タイルで舗装することはできません。また、ボリューム内では無限の数のタイルを積み重ねることができます。 (これらの厚さはゼロです)。

点、曲線、または面にブロックを配置することはできないため、3 次元オブジェクトの体積のみを評価できます。

したがって、 d _{o を}オブジェクトの次元、 d _{e を}標準の次元と呼ぶと、次のようになります。

• d _e > d _oの場合、測定結果は 0 になります。オブジェクトに単一の標準を入れることはできません。これは、面積による測定を使用するフォン コッホ曲線の場合に当てはまります。したがって、そのフラクタル次元が厳密に 2 未満であることを示します。
• d _e < d _oの場合、測定結果は ∞ になります。オブジェクトには必要なだけ標準を入れることができます。これは、長さのメジャーを使用するフォン コッホ曲線の場合に当てはまります。したがって、そのフラクタル次元が厳密に 1 より大きいことを示します。
• d _e = d _oの場合、測定により (測定対象が無限でない場合)、対象をカバーするのに必要な標準の数である有限数が得られます。したがって、私たちの問題は、有限の測定値を与える「適切な」次元 (存在する場合) を見つけることです (もちろん、オブジェクトが有限である場合)。

曲線の長さのおおよその尺度: M (?) ≈ N _? ×？ d = 1 の場合の^d

表面の面積のおおよその尺度: M (?) ≈ N _? ×？ d = 2 の場合の^d

フォン コッホ曲線のおおよその測定: 「線形」の長さは無限大に向かう傾向がある一方、「フラクタル」長さは 1 に近づく傾向があります。

この測定を行うには、規格の「サイズ」が影響しないわけではありません。標準が大きすぎると、対象物に収まりません (測定値はゼロになります)。しかし、標準をどんどん小さくすることで、(通常は) 近い測定値が得られます。線を測るのに長さ定規を使うとしたら、さらに？が小さいほど、測定対象に多くの基準を入れることができます。測定値は、標準の数と標準のサイズの積です_。長さのルール?、測定値は次のようになります

M (?) = N _? ×？

辺が?のタイルの場合、タイルの面積は?²となり、 N _?の表面を覆うと?になります。タイルの場合、測定値は次のようになります。

M (?) = N _? ×?²

ストップブロック?の場合、ブロックの体積は? ^{3 で}、オブジェクトにNを入力すると_?敷石、測定は次のようになります

M (?) = N _? ×？ ³

次元は測定値の計算に関与する指数でもあることがわかります。

通常の線の場合、長さルールを使用する場合は? 2 (または 3、4、… N) で割ると、標準の約 2 (それぞれ 3、4、… N) 倍をオブジェクトに入れることができます。測定値はほとんど変化せず、最終的にはサイズを縮小します。標準の場合、収束する一連の測定値が得られます。曲線の正確な長さは、? の場合にM (?) の限界になります。 0 になる傾向があり、それは実数です。

サーフェスの例を見てみましょう。それをタイル化すると、その面積の近似値のみが得られます (表面を多角形で近似します)。 N を保持すると_?長さのルール?、測定値は次のようになります

M (?) = N _? ×？ ²

曲線の正確な長さの領域は、 M (?) の限界です。は 0 に向かう傾向があります。

M (?) = N _? ×？

+∞に向かう傾向があり、

M (?) = N _? ×？ ³

幾何学によって確立されたものを計算によって見つけます。

フォン コッホ曲線の場合、長さの標準を3で割ると、 4倍の標準を使用できることが明確にわかります。その結果、一連の長さ測定は

M (?/3) = N _?/3 × (?/3) ¹ = 4 N _? ×？ ^1/3 = 4/3 × M (?) > M (?)

収束せず、一連の面積測定が行われない

M (?/3) = N _?/3 × (?/3) ² = 4 N _?/3 ×? ² /9 = 4/9 × M (?) < M (?)

0に向かう傾向があります。

しかし、分数の次元を想像し、「次元」を連続的に変化させることは可能です。そして実際、次元に関しては

d _o = log 4 / log 3 ≈ 1.261 9．

次のようにすることで、測定値をフォン コッホ曲線に収束させることができます。

M (?) = N _? ×？^する

これは、ハウスドルフ-ベシコビッチ次元によってより厳密に表すことができます。

トポロジー次元

漸化式によって定義される位相次元は、 R ⁿの各部分Pに、 P がアフィン部分空間の場合には代数次元に等しい整数を関連付け、 P が空でない内部の場合にはnに、 Pが正規曲線の場合には 1 に関連付けます。 、 Pが正曲面の場合は 2 など。一般に、それは通常のセットを記述するために必要な独立変数の数である直観的な次元に起因します。

ハウスドルフ – ベシコビッチ次元

ハウスドルフ・ベシコビッチ次元D _{h は}、こ​​の均一性の理由の逆数で、オブジェクトの内部相似性の数間の対数商によって定義されます。それで、

$$ {D_h = \frac{\ln(N)}{\ln(\frac{1}{r})}} $$

。

したがって、1 点として、次のようになります。

$$ {D_h = \frac{\ln(1)}{\ln(n)}= 0} $$

自然なn > 1 の場合、

理由nの内部相似性によって点を確立できるとします。 「ある点は、理由nによる、この同じ点のn個の内部相似性の積である」と言えます。

直線（線分）の場合、比率1/2の2つの内部スケールで確立できます。

$$ {D_h = \frac{\ln(2)}{\ln\left (\frac{1}{\frac{1}{2}} \right )}= \frac{\ln(2)}{\ln(2)} = 1} $$

。

このようにして、ユークリッドの形状とオブジェクトについて、これら 2 つの確立された次元間の同型性を見つけます。ただし、フラクタルとは大きな違いがあります。

ミンコフスキー次元 – ブーリガンド

ミンコフスキー・ブーリガンド次元D _mは、半径rのボールに包含できる、任意のユークリッドまたは非ユークリッドのオブジェクト (最小半径の) を覆うのに必要なボールの体積間の対数商です。 、光線の商を使用します。次に、次の結果を取得します。

$$ {D_m = \frac{\ln(N(r,\rho))}{\ln\left (\frac{r}{\rho}\right )}} $$

、

ここで、 r は外側のボールの半径であり、半径ρの小さなボールで覆われています。 N ( r ,ρ) は、この図形を覆うボールまたはディスクの面積または体積を指定します。

位相空間の組合せ次元

この別の次元の概念は、トポロジーが、ある意味、幾何学的なものよりも組み合わせ的な性質を持つ図の場合に特に役立ちます。

SF作品では

SF の分野では、4 次元は、異常な事実の原因となる 4 番目の空間次元 (長さ、幅、高さに加えて) を指します (エベレット理論を参照)。または別の次元、これは空間的ではなく時間的な次元です。つまり、主人公が移動できる時間です（超光速を参照）。拡張すると、「次元」という用語は最終的に、いわゆる「平行」世界、つまり宇宙を旅することではアクセスできない世界を特徴付けるために使用されました。それには、「次元」の間に「裂け目」を開く装置を使用するか、偶発的な出来事が発生した場合にのみアクセスできます。パラレルワールドは「異次元」にあると言われます。