最小多項式について詳しく解説

最小多項式は、多項式理論の結果を線形代数に使用できるようにするツールです。内部同型多項式の概念に関する記事で説明されているように、内部同型に多項式を適用することは確かに可能です。

これは、内部同型性、つまりベクトル空間のそれ自体への線形適用をキャンセルする最小次数の正規化多項式 (最高次数の係数は 1 に等しい) として定義されます。

主に有限次元で使用されます。それは内部同型性を軽減する上で重要な役割を果たします。これには強力な特性があり、最も有名なのはおそらくケイリー・ハミルトンの定理でしょう。

最小多項式に関連する実証は主に、この概念をより広範な理論的枠組みで深化させる記事「内部同型多項式」に記載されています。

意味

E がn に等しい有限次元のベクトル空間であると仮定します。 u をEの準同型写像とします。次のような定義があります。

準同型性uの最小多項式は、u を打ち消す最小次数のユニタリー多項式です。

コンセプトへの興味

最小多項式は、有限次元の場合における準同型性低減のための中心的な理論的ツールです。リダクションは、代数における一般的なアプローチであり、概念を、最初の概念を完全に記述するより単純なサブ概念にリダクションすることで構成されます。準同型写像の場合、特定の役割を持つ 2 つがあり、それは、零同型準同型と対角化可能な準同型です。したがって、これらの線形アプリケーションの理論的解析には最小多項式が使用されます。

このツールの中心的な役割の理由は、内部同型多項式の概念が、縮小を可能にする定理を実証するための理論的枠組みであるという事実にあります。ここでは最小多項式が重要な役割を果たします。この記事に関連するデモンストレーションは、当然のことながら関連記事で取り上げられます。

最小多項式は理論的な役割を超えて、非常に運用可能な応用アプローチを提供します。したがって、一般的な行列の分析、特に行列削減、対角行列または零能行列の場合に役割を果たします。

その適用次元は線形代数の境界を超え、振動系などの物理的な場合に使用される線形微分方程式を解くための操作ツールを提供します。

例によるアプローチ

n が 2 に等しい場合を考えてみましょう。この場合、ベクトル空間は実数です。これは、ベクトルのスカラー乗算が実数で行われることを意味します。基底 (e ₁ , e ₂ ) 内の次の行列表現に対してu が持つ準同型性を考えてみましょう。

$$ {u:\;\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}} $$

次に、 uの二乗の行列表現を計算してみましょう。次のことがわかります。

$$ {u^2:\;\begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 10 & 14 \end{pmatrix}} $$

最小多項式の存在

次に、 u ² 、 u、およびIdの間に線形依存関係が存在することに気づくことができます。確かに：

$$ {\begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 10 & 14 \end{pmatrix}-5\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}+6\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} $$

これは、注目すべき最小多項式の存在を示しています。

$$ {\chi\;} $$

$$ {\chi[X]=X^2-5X+6=(X-2)(X-3)\;} $$

この例では、最小多項式の存在を実証し、その次数がベクトル空間の次元に等しいことを実証しました。この性質は有限次元では一般的であり、最小多項式は常に存在し、その次数は空間の次元以下です。

固有値と根

固有ベクトルは、内部同型性によるイメージがそれ自体に比例する非ゼロベクトルです。最小多項式の特性の 1 つは、その根が固有値であるという事実にあります。次に、このプロパティを使用して固有ベクトルを検索しましょう。固有値2 については、次のことがわかります。

$$ {\left\{\begin{matrix} x-y=2x \\ 2x+4y=2y \end{matrix}\right. \quad \mbox{et le vecteur suivant est propre: } u_1=e_1-e_2} $$

ということも確認できます

$$ {u_2=e_1-2e_2\;} $$

は固有値 3 に関連付けられた固有ベクトルです。このアプローチにより、行列式を計算せずに固有値とベクトルを計算することが可能になります。次元が増加するほど、この計算方法はより効率的になります。

最小多項式と対角化

2 次元空間内に自由族を形成する 2 つの固有ベクトルu ₁とu _{2 が}あり、したがって、これらは基底を構成します。この基底では、準同型性が次の形式で表現されていることがわかります。

$$ {u:\; \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \;} $$

このような行列には、対角の外側ですべてゼロの項があります。この例は、最小多項式の重要な特性を示しています。内部同型性は、多項式にすべての根があり、どの根も多重ではない場合にのみ対角化可能です。

最小多項式と特性多項式

特性多項式はアプリケーションの行列式に対応します

$$ {u – \lambda Id \;} $$

。特別な性質を持っています。最小多項式と同様、その根も固有値です。次に、準同型性の特性多項式P を計算してみましょう。

$$ {P[X]=\begin{vmatrix} 1-X & -1 \\ 2 & 4-X \end{vmatrix}=(1-X)(4-X)+2=X^2-5X+6} $$

この場合、特性多項式は最小多項式と等しくなります。たとえ同等性が体系的でなかったとしても、両者の間には常に関係があります。一般的な場合、最小多項式は特性多項式を除算します。

プロパティ

有限次元では、最小多項式が常に存在し、その次数は空間の次元以下です。
内部同型性をキャンセルする多項式、およびuのキャンセル多項式と呼ばれる多項式は、多項式の環内に主イデアルを形成します。

準同型性の最小多項式の概念はベクトルに限定することができます。ベクトル x の最小多項式は、 u に適用されると x が打ち消される最小次数の正規化多項式です。

x がベクトルの場合、x の最小多項式は最小多項式を除算します。 2 つの多項式が等しいようなベクトルが少なくとも 1 つ存在します。
最小多項式の根は固有値のセットを形成します。
内部同型写像は、その最小多項式が複数の根を持たずに分割されている (つまり、すべての根がある) 場合にのみ対角化可能です。
ケイリー・ハミルトンの定理は、最小多項式が特性多項式を割ることを示しています。

これらすべての特性は、この概念に関連する数学理論を展開し、他のより高度な提案を提示する記事「内部同型多項式」で実証されています。

ガロア理論

ガロア理論では、物体の拡張を考慮すると、

$$ {\mathbb{L}/\mathbb{K}} $$

と要素α

$$ {\mathbb{L}} $$

これは代数的です

$$ {\mathbb{K}} $$

、α の最小多項式は正規化された多項式pであり、係数は

$$ {\mathbb{K}} $$

、ｐ（α）＝０となる最小次数。最小多項式は既約であり、 q (α) = 0 となる他の非ゼロ多項式qはpの倍数です。

実際、これは次の準同型性の最小多項式です。

$$ {\mathbb{L}} $$

u ( x ) = α xで定義されます。

$$ {\mathbb{L}} $$

とみなされます

$$ {\mathbb{K}} $$

-ベクトル空間。

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