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ダンフォード分解について詳しく解説

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導入

数学では、ダンフォード分解は準同型性低減の問題の一部です。このアプローチは、ベクトル空間を、準同型性の表現がより単純な安定部分空間の直接和に分解することから構成されます。

最大ではないという意味での削減ではありません。つまり、分解をより小さな安定したベクトル部分空間に押し込むことができる場合があります。

仮説として、ベクトル空間は有限次元であり、最小多項式は分割される、つまり、最小多項式は 1次多項式の積として表現されると仮定します。これは、複素数の体など、代数的に閉じた体である場合には常に当てはまります。プロパティが検証されない場合は、本体をその代数閉包に拡張し、ベクトル空間をこの新しい本体に拡張し、このコンテキストで ダンフォード分解を適用することが可能です。たとえば、実数のフィールドは、この分解の適用を可能にするために拡張されることが非常に一般的に見られます。

ダンフォード分解は、任意の準同型性が、対角化可能な準同型性と零可同型性の和であり、両方の準同型性が可換であり、一意であることを証明します。

この分解は広く応用されています。これにより、多くの場合、迅速な行列計算が可能になります。ただし、ヨルダン削減の形で使用されることがよくあります。

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定理

対角化可能性定理により、単純な根を持つ分割キャンセル多項式が認められる場合、u の構造を決定することが可能になります。ダンフォード分解は、より一般的なケースに適用されます。

ダンフォード分解定理— u をベクトル空間Eの準同型写像とします。 u が分割最小多項式を許容する場合、それはu = d + n の形式で書くことができます。 d は対角化可能同型写像、 n は零能同型写像であり、 dとn は可換です (つまり、 dn = nd )。さらに、 dとn はU字型の多項式であり、一意です。

応用事例

有限次元では、 ケイリー・ハミルトンの定理により、 χ u ( u ) = 0が保証されます。ここで、 χ u はu の 特性多項式を示します。 χ uが分割されている場合、u は分解可能です。

これは特に、代数的に閉じた体上の有限次元空間の準同型性の場合に当てはまります (

$$ {\mathbb C} $$
特に）。

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デモンストレーション

特徴的な部分空間を介して

このアプローチの最初のアイデアは、次の命題によって与えられます。これは、最小多項式に関する段落の準同型多項式に関する記事で実証されています。

  • どちらか
    $$ {(\mu_i)\;} $$
    1 以上の次数の因数と最小多項式の最初のペアへの分解
    $$ {\mu\;} $$
    準同型性uの。したがって、核の順序は
    $$ {(Ker \mu_i(u))\;} $$
    は、空間Eを準同型性による安定部分空間の直接和に分解したものです。

ただし、最小多項式が分割される場合は、次の形式で記述することができます。

$$ {\mu(X)=\prod_i (X-\lambda_i)^{n_i}\;} $$

注意すれば

$$ {E_i\;} $$
準同型性の核心
$$ {(u-\lambda_iId)^{n_i}\;} $$
とすると、前の段落でシーケンスが次のようになります。
$$ {(E_i)\;} $$
は、0 に還元されず、準同型性によって安定した部分空間の空間Eの直接和を形成します。これらの部分空間を特性部分空間と呼びます。すると、次の 3 つのプロパティが得られます。

  • 空間E は、これらの特徴的な部分空間の直接和です。
  • 特徴的な部分空間はゼロベクトルに還元されず、準同型性によって安定します。準同型性の制限
    $$ {E_i\;} $$
    比率スケールの合計です
    $$ {\lambda_i \;} $$
    そして秩序の零同同型性
    $$ {n_i\;} $$
    。
  • の続き
    $$ {(\lambda_i) \;} $$
    は固有値のシーケンス (つまりuのスペクトル) です。関連する固有部分空間は特性部分空間に含まれます。

これらの考慮事項により、ダンフォード分解を実証することが可能になります。また、次の特性を実証することも可能になります。

  • 最小多項式は、次数 1 の多項式の積であり、固有値を関連する零能同一同型性の指数で累乗します。
  • 特性多項式は、次数 1 の多項式と固有値の根の、関連する特性空間の次元乗の積です。
  • 行列式は、固有値を関連する特性空間の次元で乗算した積に等しくなります。
  • トレースは、関連する特徴空間の次元によって重み付けされた固有値の合計に等しくなります。
  • 空間E は、これらの特徴的な部分空間の直接和です。

最小多項式は分割されるため、シーケンスの要素の積として記述されます。

$$ {(X-\lambda_i )^{n_i}\;} $$
。前の命題は次のことを示しています。
$$ {Ker (u-\lambda_i )^{n_i}\;} $$
安定部分空間の直接和を形成します。特徴的な部分空間の定義によって、命題を証明したところです。

  • 特徴的な部分空間はゼロベクトルに還元されず、準同型性によって安定します。準同型性の制限$$ {E_i\;} $$
比率スケールの合計です
$$ {\lambda_i \;} $$
そして秩序の零同同型性
$$ {n_i\;} $$
。

多項式を考えてみましょう

$$ {\prod_{j \ne i}(X-\lambda_j )^{n_j}\;} $$
。この多項式は最小ではありません。したがって、直接和は
$$ {\oplus_{j \ne i}Ker(u-\lambda_j )^{n_j}\;} $$
空間全体ではありません。これは証明します
$$ {E_i\;} $$
はゼロベクトルに還元されません。

あなたの制限は、

$$ {E_i\;} $$
書かれています
$$ {\lambda_i Id + (u -\lambda_i Id)\;} $$
最初の項は確かに相等であり、特性部分空間の定義により、第 2 項が零であることが保証されます。

  • の続き$$ {(\lambda_i) \;} $$
は固有値のシーケンスです。関連する固有部分空間は特性部分空間に含まれます。

それを見せてみましょう

$$ {\lambda_i\;} $$
は固有値です。最後の命題の nilpotent endomorphism のカーネルを考えてみましょう。零ベクトルの構築により、ゼロベクトルには還元されません。このカーネルに対するuの制限は比率の相似性です
$$ {\lambda_i\;} $$
これは、それが固有値であり、関連する固有空間が特性空間に含まれていることを示しています。

次に固有値を考えてみましょう

$$ {\lambda\;} $$
関連する固有ベクトルは最小多項式を持ちます
$$ {X-\lambda\;} $$
。さて、この最小多項式は次のようになります。
$$ {\chi\;} $$
。私たちはそれを証明したところです
$$ {\lambda\;} $$
の根です
$$ {\chi\;} $$
。

  • 内部同型性u は、対角化可能内部同型性とゼロ潜在性内部同型性の和です。 2 つの準同型性は相互に可換です。

E上の準同型性dを考えてみましょう。これは、任意のベクトルに対して行われます。

$$ {x_i\;} $$
の
$$ {E_i\;} $$
パートナー
$$ {\lambda_i x_i\;} $$
。合計のように
$$ {E_i\;} $$
は直接でありEに等しいため、この準同型性は明確に定義されており、対角化可能です。

E上の準同型性n を考えてみましょう。これは、任意のベクトルに対して

$$ {x_i\;} $$
の
$$ {E_i\;} $$
パートナー
$$ {u(x_i)-\lambda_i x_i\;} $$
。合計のように
$$ {E_i\;} $$
は直接であり、 Eに等しい場合、この準同型性は明確に定義されており、すべての特性空間上で nilpotent であるため、 nilpotent です。

d + n の合計はu に等しく、 dとnは各特性空間上で相互に可換です。特性空間の合計はEに等しくなります。したがって、E に関しては等価性と可換性が成り立ちます。

  • 最小多項式は、次数 1 の多項式と固有値の根の、関連するゼロポテント同型性の指数の乗の積です。

留意するだけで十分です

$$ {n_i\;} $$
は、の制限であるゼロポテント同型性の指数です。
$$ {u-\lambda_iId\;} $$
関連する特性空間へ。

  • 特性多項式は、次数 1 の多項式と固有値の根の、関連する特性空間の次元乗の積です。

ジョーダン基底で特性多項式を計算するだけです。

  • 行列式は、固有値を関連する特性空間の次元で乗算した積に等しくなります。

ジョルダン基底で行列式を計算するだけで十分です。

  • トレースは、固有値の合計に関連する特性空間の次元を乗算したものに等しくなります。

ジョルダンベースでトレースを計算するだけで十分です。

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プロジェクター経由

内部同型多項式を使用したアプローチの注目すべき結果は、最小多項式の知識により、固有空間にスポットライトを当てるだけでなく、内部同型の対角成分と零成分の両方にスポットライトを当てるアルゴリズムを定義できるという事実にあります。

  • 他の特性空間の直接和に平行なE iへの射影は、準同型写像uの多項式として表されます。
  • 内部同型写像uの対角成分d は、内部同型写像uの多項式として表現されます。
  • 準同型性uの零成分n は、準同型性uの多項式として表現されます。
  • 他の特性空間の直接和に平行なE iへの射影は、準同型写像uの多項式として表されます。

これは、理想を無効にするという段落の最後の命題の直接的な結果です。確かに、多項式族は

$$ {(X-\lambda_i)^{n_i}\;} $$
は確かにペアごとの素多項式の族です。

  • 内部同型写像uの対角成分d は、内部同型写像uの多項式として表現されます。

次の等式

$$ {d=\sum_{i=1}^p \lambda_i \pi_i} $$
は、対角成分が実際に U 字型の多項式であることを示しています。

  • 準同型性uの零成分n は、準同型性uの多項式として表現されます。

次の等価性が検証されます

$$ {n=u-d=(X-P)[u]\,} $$
, n も u の多項式です。

参考資料

  1. Descomposició de Jordan–Chevalley – catalan
  2. Jordan-Chevalley-Zerlegung – allemand
  3. Jordan–Chevalley decomposition – anglais
  4. Descomposición de Jordan-Chevalley – espagnol
  5. פירוק ז’ורדן (אלגברת לי) – hébreu
  6. Розклад Жордана — Шевальє – ukrainien

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