ケイリー・ハミルトンの定理について詳しく解説

導入

線形代数におけるケイリー・ハミルトンの定理(数学者アーサー・ケイリーとウィリアム・ハミルトンにちなんで命名) は、有限次元ベクトル空間の任意の体への準同型性は、それ自身の 特性多項式を打ち消すと述べています。

マトリックスの用語では、これは次のことを意味します。

Aが次数nの正方行列の場合、および

はその特性多項式(不定多項式X ) であり、 X を多項式の行列Aで正式に置き換えることで、結果はゼロ行列になります。

ケイリー・ハミルトンの定理は、任意の可換環内の係数を持つ正方行列にも適用されます。

ケイリー・ハミルトンの定理の重要な帰結は、特定の行列の最小多項式はその特性多項式の約数であると述べています。

モチベーション

この定理には 2 つの用途があります。

• これにより、理論的結果を確立することが可能になります。たとえば、ゼロポテント同型写像の特性多項式を計算することができます。
• また、行列計算を大幅に簡素化することもできます。最小多項式を使用するアプローチは、一般に行列式を使用するアプローチよりも安価です。

この定理は、内部同型多項式、ゼロポテント内部同型、そしてより一般的には行列の一般理論に関する記事で使用されていることがわかります。

デモンストレーション

証拠

マトリックスが何であれ

の場合、 S Comp( S ) = Comp( S ) S = det S I _nを満たす、S の相補行列である明示的に決定された行列 Comp ( S )が存在します。 Comp(S)行列は、 Sのコマ行列または余因子行列の転置です。 Sの係数がリングに属している場合でも、分割が行われていないため、この関係は依然として当てはまります。したがって、 S = X I _n − Aと置くことができ、その係数はそして次の関係が成り立ちます:

$$ {(XI_n-A)\textrm{Comp}(XI_n-A)=\det(XI_n-A)I_n=p(X)I_n. \ \ (1)} $$

(1)から書いてみましょう

$$ {\textrm{Comp}(XI_n-A)=\sum_{j=0}^{n-1}B_j X^j} $$

と

、 そして

$$ {p(X)=\sum_{j=0}^n p_jX^j.} $$

積( X I _n − A )Comp( X I _n − A )を展開できます。

$$ {(XI_n-A)\textrm{Comp}(XI_n-A)=X^{n}B_{n-1} +\sum_{i=1}^{n-1}X^i(B_{i-1}-AB_{i}) -AB_0\ \ (2),} $$

と同じです

$$ {\sum_{j=0}^n X^jp_jI_n.\ \ (3)} $$

多項式 (2) と (3) は等しいです。したがって、

$$ {p_{n}I_n=B_{n-1},\quad p_iI_n=B_{i-1}-AB_{i},\quad p_0=-AB_0} $$

。

次に、テレスコープ機能が登場します。

$$ {\begin{align}P(A)&=\sum_{j=0}^n A^j(p_jI_n)\\&=A^nB_{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}A^i(B_{i-1}-AB_{i}) -AB_0\\&=\sum_{i=1}^nA^iB_{i-1}-\sum_{i=0}^{n-1}A^{i+1}B_i\\&=0\end{align}} $$

、

証明は、多項式の等式における X を A に置き換えることではなく、それらの係数を特定することで構成されます。

バリエーション

抽象的なアイデアを調整することもできます。

問題を解くのに適した評価射を導入することから始めましょう。初めに 、

可換代数である 、評価射が得られます。 (任意のスカラーλに対してX をAに、 λ をλ I _nに送信します)。この可換リング射は、行列リング上の評価射を誘導します。 。

補助的な表記法が役に立ちます。 C = ( ci _{j )}およびD = ( d _{i j} )で示される 2 つの正方行列( n , n )について、次のようになります。

一般項行列係数c _{i j} Dを持つ行列。読者が 2 つの行列のクロネッカー積に精通していれば、次のことに気づくでしょう。 それはほぼ同じですそれ以外はは( n , n )行列であり、その係数は( n , n )行列ですが、 は⁽ n2 , n2 ⁾行列です。以下の式には、実際には、この演算の 2 つの特定のケースのみが含まれています。 つまり、対角にC があり、その他の場所に0 がある正方行列と積です。 つまり、行列a _{i j} I _{n が}係数a _{i j を}置き換えるAの変形です。

この表記法が確立されたので、評価射を関係に適用してみましょう。

$$ {(XI_n-A)\,\textrm{Comp}(XI_n-A)=p(X)I_n.} $$

私たちは関係を得る

$$ {(I_n\triangleright A-A\triangleright I_n)\,M=I_n\triangleright p(A)\qquad(*)} $$

ここで、 M は係数を持つ特定の行列です。

それについては何も知る必要はありません。

したがって、私たちは正しい式を書きましたが、それに悩まされています。つまり、まだ終わっていないため、厳密な手法によるX I _n − Aの評価では0ではなく、行列係数を持つ奇妙な行列が得られます。

結論を出すためには 2 つ目のアイデアが必要です。それは、次のことに気づくことから成ります。

はリング、 Eは右側の -module では、すべての整数r 、 s 、 tに対して、通常の公式を使用して行列積を定義できます。

$$ {\mathcal{M}_{rs}(E)\times\mathcal{M}_{st}(\mathbb{A})\to\mathcal{M}_{rt}(E)} $$

3 つの項で積を計算したい場合は、結合性が得られます。

$$ {\mathcal{M}_{rs}(E)\times\mathcal{M}_{st}(\mathbb{A})\times\mathcal{M}_{tu}(\mathbb{A})\to\mathcal{M}_{ru}(E).} $$

この概念を次のことに当てはめてみましょう

(純粋主義者にとっては ) これは可換リング上のモジュール (乗算は左側に自発的に書かれますが、必要に応じて右側に書くこともできます。環は可換です) 、外部乗算はアプリケーションです。 によって定義される （これ正方行列の通常の行列積である列行列による ）。

左側の関係(*)に線ベクトルを掛けてみましょう

またはの正規の基礎を示します : (*)の右側の式を使用して、線ベクトルを取得します。 。

ここで、 ( * )内の左側の式を使用し、上記のやや珍しい行列乗算の結合によって括弧を移動すると、積を計算することになります。

$$ {\begin{pmatrix}e_1&\ldots&e_n\end{pmatrix}(I_n\triangleright A-A\triangleright I_n).} $$

各インデックスjについて、そのj番目のコンポーネントの価値があることにのみ注意できます。

$$ {Ae_j-\sum_{i=1}^n(a_{ij}I_n)e_i=Ae_j-\sum_{i=1}^na_{ij}e_i=0} $$

。

右側のこれに無害な行列Mを乗算し、2 つの積式を比較すると、任意のインデックスjについて、 p ( A ) e _j = 0と結論付けられます。

したがって、 p ( A ) = 0 となります。

デモに関する補足事項

与えられた証明は、 X ^jの因数に含まれる左側の成分をA ^jに置き換えることを回避し、すべてを加算します。実際、(5) で定義された演算Ev _{A を}、それが環の準同型であると仮定せずに使用しました。

で 。スカラー不定Xによる乗算がAによる左乗算に置き換えられるため、演算Ev _{A は}左評価です。

もう 1 つの観察が重要です。多項式Comp( X I _n − A )の正確な形式は重要ではありません。したがって、ここには利用できる何かがあり、数学者たちはそれを失敗していません。

M を非可換環とする。多項式のユークリッド除算を定義できます

モニック多項式Bによる。これは、最高次項の係数がMの単位、つまりMの逆数を持つMの要素である多項式です。より正確には、2 つの多項式があります。 、 Rの次数がBの次数より厳密に小さい場合、次のようになります。

P = BQ + R。

このデモンストレーションは、スカラーの場合のデモンストレーションと完全に類似しています。 B = X I _n − Aの場合、剰余R は次数0であるため、 Mに属する定数と同一です。しかしこの場合、ケイリー・ハミルトンの定理の証明とまったく同じように推論することで、次の結論に達します。

_EvA ( P )= R 。

したがって、 Pが左辺でX I _n − Aで割り切れる場合に限り、 Ev _A ( P ) はゼロになります。

ケイリー・ハミルトンの定理の証明によって、他の情報も得られます。多項式Comp( X I _n − A ) は、 p ( X ) I _nのt I _n − Aによる左商です。 p ( X ) I n_とX I _n − A は両方とも可換部分環K[ A ] [特に、 Comp( X I _n − A )の行列係数は、 Aのべき乗の線形結合です。言い換えれば、行列Aの相補行列はAの多項式ですが、相補行列の定義から直接推定するのは簡単ではありません。より良い方法は、通常のユークリッド除算を行う必要があるため、特性多項式p ( X )の係数からその係数を明示的に計算することです。

$$ {\textrm{Comp(-A)}=\sum_{j=1}^n p_jA^{j-1}.} $$

また、恒等式のおかげで、ケイリー・ハミルトンの定理からこの関係を直接取得することもできます。

$$ {p_0I_n=\det(-A)I_n=-A\cdot \textrm{Comp}(-A)=\textrm{Comp}(-A)\cdot-A} $$

。