特性多項式について詳しく解説

導入

線形代数では、正方行列または有限次元ベクトル空間の準同型性は、特性多項式と呼ばれる多項式に関連付けられます。これには、固有値、行列式、トレースなど、行列または準同型性に関する重要な情報が含まれています。

モチベーション

次数nの正方行列Mが与えられた場合、根が正確にMの固有値である多項式を見つけたいとします。

Mが対角行列、より一般的には三角行列の場合、 Mの固有値はMの対角係数 λ ₁ , …, λ _nであり、 特性多項式を次のように定義できます。

$$ {(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\qquad (1)} $$

この多項式は行列式det( X I _n − M )であることがわかります。ここで、 I _nは単位行列です。

任意の行列Mについて、 λ がMの固有値である場合、 MV = λ V 、つまり (λ I _n − M ) V = 0 となる非ゼロの固有列Vが存在します (ここで、 I _nは単位行列です)。 V は非ゼロであるため、行列 λ I _n – Mが特異であり、したがってゼロ行列式を持つことを意味します。 Mの固有値が関数λ ↦ det( λ・I _n − M )のゼロ、または多項式det( X I _n − M )の根であることを証明しました。

係数

n次の正方行列Mの特性多項式p _M ( X ) の展開は、次の式で与えられます。

$$ {\det(XI_n-M)=X^n-f_1(M)X^{n-1}+f_2(M)X^{n-2}-\dots+(-1)^nf_n(M)} $$

ここで、 f _i (M) は行列Mの係数の多項式関数です。 2 つの類似した行列は、同じ特性多項式を持ちます。言い換えれば、任意の可逆行列Pに対して、 f _i ( P M P ^{− 1} ) = f _i ( M ) となります。 XMの行列式を明示的に展開すると、次のようになります。

$$ {f_k(M)=\sum_{1\leq h_1<\dots

。

特に、定数係数p _M (0) はMの行列式の (-1) ⁿ倍に等しく、 X ^{n -1}の係数はMのトレースの逆に等しくなります。

特性多項式の最も重要な特性は、 Mの固有値が_多項式pM ( X ) の根に正確に一致することです。注目する

$$ {f_k(M)=s_k(\lambda_1,\dots,\lambda_n)} $$

ここで、 s _{k は}k番目の基本対称多項式を示します。 (ここで、 Kが代数的に閉じていない場合、ルートはKの有限拡張子Lに取り込まれます。したがって、 M はL上で三角化可能です。これにより、上の式を実証する際に、動機の段落で説明したケースに還元することができます。 。）

基体K がゼロ特性を持つ場合 (たとえば、 K = RまたはC )、ニュートンの恒等式により、係数f _k ( M ) は次の多項式関数として表されます。

$$ {\sum_{i=1}^n \lambda_i^j=Tr(M^j)} $$

。

任意の機能

正式な定義

M を可換リング内の係数を持つ次数nの正方行列とします。 p _M ( X ) で示されるMの特性多項式は、次のように定義される多項式です。

$$ {p_M(X):=\det(XI_n-M) = \sum_{\sigma\in\Sigma_n} \varepsilon(\sigma) a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)} \qquad (2)} $$

ここで、 det は行列の行列式、 I _{n は}次数nの単位行列、 i≠j の場合はa _ij = – m _ij 、およびa _ii = X – m _iiを示します。

XI-M行列には係数の多項式があります。この程度の抽象度が読者を不快にさせる場合は、右側の合計で定義として十分です。

気づいた

式 (2) の代わりに、特性多項式をdet( M − X I _n )として定義する著者もいます。これにより、次数nが奇数の場合、次のように符号が変更されます。 $$ {\det(M-XI_n) = (\!-\,1)^n ~\det(XI_n-M)} $$