導入
数学、特に線形代数では、次のようなn次の行列Bが存在する場合、次数nの正方行列A は可逆である、正則である、または非特異であると言われます。
- AB = BA = I n 、(ランク定理によればAB = I n で十分です)
ここで、 I n は次数nの単位行列を示します。乗算は通常の行列の乗算です。この場合、行列B は一意であり、 Aの逆行列と呼ばれ、 A -1で表されます。
可逆でない正方行列は、非可逆行列または特異行列と言われます。通常の場合、これらの行列は実数または複素数の係数を持ちますが、これらすべての定義は、任意のフィールド (より一般的にはリング内) の係数を持つ行列に与えることができます。
もっと簡単に言うと、正方行列 A は、行列式が非ゼロの場合は正則であり、行列式がゼロの場合は特異です。
基本的な特性
A をフィールド内の係数を持つ次数nの正方行列とします。
- A は可逆であり、
- A は次数nの単位行列I nに相当します。
- Aにはn 個のピボットがあり、
- Aの行列式はゼロ以外です: det ( A ) ≠ 0、
- 0 はAの固有値ではありません。
- Aのランクはnに等しい、
- 均質系AX = 0 には一意の解X = 0 があります。
- すべてのbのために$$ {\mathcal{M}_{n1}(\mathbb{K})} $$、線形システムAX = bには最大でも 1 つの解があります。
- すべてのbのために$$ {\mathcal{M}_{n1}(\mathbb{K})} $$、線形システムAX = bには少なくとも 1 つの解があります。
- すべてのbのために$$ {\mathcal{M}_{n1}(\mathbb{K})} $$、線形システムAX = b の解は 1 つだけです。
- Aの列。 のベクトルとして考慮されます。 $$ {\mathbb{K}^n} $$、線形独立であり、
- Aの列。 のベクトルとして考慮されます。 $$ {\mathbb{K}^n} $$、 生成する$$ {\mathbb{K}^n} $$、
- Aの列。 のベクトルとして考慮されます。 $$ {\mathbb{K}^n} $$、の基礎を形成します$$ {\mathbb{K}^n} $$、
- Aに標準的に関連付けられた準同型性 (つまり、 $$ {\mathbb{K}^n} $$それ自体は can( A ) で表され、正規基底で行列A を持ちます) は単射的です。
- Aに正準的に関連付けられた準同型性 can( A ) は全射的です。
- Aに正準的に関連付けられた準同型性 can( A ) は全単射であり、
- 行列Aは可逆のままです。つまり、 BA = I nとなる次数nの正方行列B が存在します。
- 行列Aは右反転可能です。つまり、 AB = I nとなる次数nの正方行列B が存在します。
- Aの転置t Aは可逆であり、
- 0 が根ではないAの相殺多項式が存在します。
- 0 はAの最小多項式の根ではありません。
より一般的には、単一可換環内の係数を持つ正方行列は、その行列式がこの環内で可逆である場合にのみ可逆です。
反転メソッド
通常の逆行列法を説明する前に、実際には、連立一次方程式を解くために行列の逆行列を計算する必要はないことに注意してください。ただし、考慮する行列が可逆であることが必要です。 LU 分解などの分解方法は、反転よりもはるかに高速です。
ガウス・ジョーダン消去法
コファクター法
行列Aの逆行列は、相補行列t com A を使用して非常に単純な形式で書くことができます。
- $$ {A^{-1}=\frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A} = \frac1{\det A} \, {}^t{\left(C_{ij}\right)} = \frac1{\det A} \, \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & \ddots & & C_{n2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & \cdots & \cdots & C_{nn} \\ \end{pmatrix}} $$
ここで、 det AはAの行列式、 com AはAのコマ行列、 t C i j はコマトリックスの転置行列です。
この記述により、小次元行列の逆行列を簡単に計算できます。行列が大きくなると、この本質的に再帰的な方法は効果がなくなります。
2 x 2 行列の逆行列
上記の余因子方程式を使用すると、 2 x 2 次元の行列の逆行列を計算できます。
- $$ { A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} , \ {\rm com} A = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \\ \end{pmatrix} , \ {}^t{{\rm com} A} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}} $$
- $$ { A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac1{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}} $$
例
- $$ { C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} , \ C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac1{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix}} $$
3 x 3 行列の逆行列
同様に、次元 3 x 3 の行列の逆行列は次のように書かれます。
- $$ {\det A = a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg) = a(ei-fh) – d(bi-ch) + g(bf-ce) = … \ } $$
- $$ {A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix}^{-1} = {\frac1{\det A}}^{\ t}\! \begin{pmatrix} ei – fh & fg – di & dh – eg \\ ch – bi & ai – cg & bg – ah \\ bf – ce & cd – af & ae – bd \end{pmatrix} = \frac1{\det A} \begin{pmatrix} ei – fh & ch – bi & bf – ce\\ fg – di & ai – cg & cd – af\\ dh – eg & bg – ah & ae – bd \end{pmatrix}} $$
ブロック反転
次の解析式を使用して、ブロック で逆行列を計算することもできます。
- $$ {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}} $$
ここで、A、B、C、D は任意のサイズのブロックです。この方法は、たとえばAが対角行列であり、そのシュール補数( D − C A − 1 B )が低次元行列である場合に有利であることがわかります。これは、これらが反転する唯一の行列であるためです。
この手法は、高速行列積に関する Strassen のアルゴリズムでも知られる Volker Strassen によって発明されました。