導入
行列積とは行列の積を指し、当初は「表の構成」と呼ばれていました。この記事では、行列を乗算する方法を説明します。
通常のマトリックス製品
これは、行列を乗算する最も一般的な方法です。 2 つの行列の積は、最初の行列の列数が 2 番目の行列の行数と同じ場合、つまり互換性のある型である場合にのみ定義できます。
A = ( a i j )が( m , n )型の行列であり、 B = ( bi j )が( n , p )型の行列である場合、 A B = ( ci j )で示されるそれらの積は、タイプ( m , p )の行列は次のように与えられます。
- $$ {\forall i, j : c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+ a_{in}b_{nj}} $$
次の図は、 A が(4,2)型の行列で、 B が(2,3)型の行列である場合に、積行列A Bの係数c 12およびc 33 を計算する方法を示しています。
例
- $$ { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} } $$
- $$ { = \begin{pmatrix} (1 \times 3+0 \times 2) & (1 \times 1+0 \times 1) \\ (-1 \times 3+3 \times 2) & (-1 \times 1+3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}} $$
この乗算の概念は重要です。なぜなら、 AとB が線形アプリケーションの行列として解釈される場合 (これはほとんどの場合に当てはまります)、積行列A B は2 つの線形アプリケーションの合成行列を表し、それに対応するものがあるからです。最初に適用されるB。
一般に、行列の乗算は可換ではありません。つまり、 A B はB Aと等しくありません。
アダマール積
同じタイプの 2 つの行列の場合、アダマール積または成分ごとの積が得られます。 ( m , n )型の 2 つの行列A = ( a i j )とB = ( bi j )のアダマール積( A · B = ( ci ij )で示されます) は、 ( m , n)型の行列です)。による
- $$ {c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}} $$
例えば ：
- $$ { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 0 & 3 \times 0 & 2 \times 2 \\ 1 \times 7 & 0 \times 5 & 0 \times 0 \\ 1 \times 2 & 2 \times 1 & 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 7 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} } $$
この積は、クロネッカー積の部分行列です (下記を参照)。アダマール積は行列理論家によって研究されていますが、線形代数学者によって使用されていません。
ブロック行列乗算
行列を考えると
- AとCの列数はA ‘とB ‘の行数に等しい
- BとDの列数はC ‘とD ‘の行数に等しい
そうすれば平等になります
- $$ { M N = \begin{pmatrix} A A’ + B C’& A B’ + B D’ \\ C A’ + D C’ & C B’ + D D’ \end{pmatrix}} $$
ブロック行列の積と次数 2 の 2 つの正方行列の積の類似性に注目してください。
注意: これは行列乗算の新しい形式を定義するものではありません。これは、計算を簡略化できる通常の行列積計算方法です。
共通のプロパティ
前の 3 つの行列乗算は結合的です
- $$ {A \times (B \times C) = (A \times B) \times C} $$、
分配と加算の比較:
- $$ {A \times (B + C) = A \times B + A \times C} $$
- $$ {(A + B) \times C = A \times C + B \times C} $$
スカラーによる乗算と互換性があります。
- $$ {c(A \times B) = (cA) \times B = A \times (cB)} $$
クロネッカー積
2 つの任意の行列A = ( a i j )およびBに対して、次のように定義されるテンソル積またはクロネッカー積A ⊗ Bが得られます。
- $$ { \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1}B & a_{n2}B & \cdots & a_{mn}B \end{pmatrix} } $$
A が( m , n )型の行列で、 B が( p , r )型の行列である場合、 A ⊗ B は(mp , n r )型の行列になります。繰り返しますが、この乗算は可換ではありません。
例えば
- $$ { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times 0 & 1\times 3 & 2\times 0 & 2\times 3 \\ 1\times 2 & 1\times 1 & 2\times 2 & 2\times 1 \\ 3\times 0 & 3\times 3 & 1\times 0 & 1\times 3 \\ 3\times 2 & 3\times 1 & 1\times 2 & 1\times 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} } $$。
AとB がそれぞれ線形マップV 1 → W 1とV 2 → W 2の行列である場合、 A ⊗ B は2 つのマップのテンソル積V 1 ⊗ V 2 → W 1 ⊗ W 2を表します。
スカラーによる乗算
行列A = ( a i j )にスカラーrを乗算すると、積が得られます。
- r A = ( ra a i j ) 。
リング上の行列を扱う場合、スカラーによる乗算は左乗算と呼ばれることがありますが、右乗算は次のように定義されます。
- A r = ( a i j r ) 。
基本的なリングが可換である場合、たとえば実数体または複素数の体では、2 つの乗算は同一になります。
ただし、四元数など、リングが可換でない場合は、異なる場合があります。例えば
- $$ { i\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -k \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{pmatrix}i } $$
