導入
線形代数、より正確には行列理論では、シュール補数は次のように定義されます。どちらか
- $$ {M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]} $$
次元 ( p + q )×( p + q ) の行列。ブロックA 、 B 、 C 、 D はそれぞれの次元p × p 、 p × q 、 q × pおよびq × qの行列で、 Dは可逆です。 。次に、行列MのブロックDのシュール補数は、次の次元p × pの行列で構成されます。
- A − B D − 1 C 。
B がCの転置であるとき、行列M は、 DとMのシュール補数が正定対称である場合に限り、正定対称になります。
シュール補数は、特に右側の行列Mと次の「下三角」行列をブロックごとに乗算することによる「部分的な」ガウス消去の結果として表示されます。
- $$ {LT=\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right].} $$
ここで、 I p は次元p × pの単位行列を指定します。 LT行列を乗算すると、シュール補数が上部のp × pブロックに表示されます。製品マトリックスは、
- $$ {M\cdot LT=\left[\begin{matrix} A-BD^{-1}C & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{matrix}\right].} $$
したがって、 Mの逆数はD − 1とシュール補数の逆数で表すことができます。
- $$ { \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & -\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \\ -D^{-1}C\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & D^{-1}+ D^{-1} C \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \end{matrix} \right], } $$
またはさらに単純に、
- $$ { \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} I & 0 \\ -D^{-1}C & I \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right]. } $$
一次方程式の解法への応用
シュール補数は、次の形式の連立一次方程式を解くときに自然に現れます。
- A x + B y = a
- C x + D y = b
または
- xとa は次元pの列ベクトルです。
- yとb は次元qの列ベクトルです。
- A 、 B 、 C 、 D は以前と同じです。
2 番目の方程式にB D − 1を乗算し、それを最初の方程式から引くと、次のようになります。
- $$ {(A – BD^{-1} C) x = a – BD^{-1} b.\,} $$
したがって、この方程式のxでの解決は、 Dとその補数が可逆になるとすぐに可能になります。方程式C x + D y = bを解くことでy を取得できます。この方法により、次元行列の反転の問題が軽減されます。
$$ {(p+q) \times (p+q)} $$
それぞれの次元p × pおよびq × qの 2 つの行列の逆行列に変換します。実際には、方法を正確にするために行列D を適切に条件付けする必要があります。参考文献
- RA ホーンと CR ジョンソンによる「マトリックス分析」というタイトルの本の第 7 章。ケンブリッジ大学出版局によって数回編集されています。
vdm | ||
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| 形態論と関連する概念 | 線形応用 • カーネル • コーカーネル • カーネル補題 • 擬似逆行列 • 因数分解定理 • ランク定理 • 線形方程式• 連立一次方程式 • ガウス・ジョルダン消去法 • 線形形式 • 双対空間 • 直交性 • 双対基底 • 内部同型線形 •固有値、固有ベクトルと固有空間 • スペクトル • プロジェクター • 対称性 • 対角化可能行列 • 対角化 •冪能同型性 | |
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