導入
有限次元のKベクトル空間Eとこの空間の準同型性uを考えます。フロベニウス分解は、空間Eを巡回部分空間の直接和に分解することです。この分解により、準同型性uの不変因子が明らかになります。 ダンフォード分解と (いずれかの順序で) 組み合わせると、ジョルダン還元が得られます。後者とは異なり、フロベニウス分解は任意の物体に対して実行できます。ここではKが代数的に閉じているとは想定しません。
伝導多項式
$$ {I_x=\{P\in K[X]\mid P(u)(x)=0\}} $$
はKの非ゼロ理想[u 最大ベクトル
Eの任意のベクトルxについて、伝導多項式π u , x はuの最小多項式π uを除算します。 π u 、 x = π uの場合、 x はu最大であると言います。フロベニウス分解は、次の 2 つの重要な結果に基づいています。
- すべての準同型写像u はベクトルu -maximum を許容します。
- 任意のベクトルu -maximum xに対して、 S x は安定した補足を認めます。
反復的に進めると、次の結果に到達します。
周期的部分空間
x をEのベクトル、集合とします。
$$ {S_x=\{P(u)(x)\mid P\in K[X]\}} $$
は、 xによって生成されるu – 巡回部分空間と呼ばれるuによって安定したEのベクトル部分空間、またはxのu -stable閉包です。どちらか
$$ {P\in K[X]} $$
、 我々は持っています$$ {P\in I_x} $$
もし、そしてその場合に限り$$ {\forall y\in S_x,\ P(u)(y)=0} $$
。したがって、伝導多項式π u , x は、部分空間S x上でuによって誘起される準同型性の最小多項式です。S xの次元は、多項式π u , xの次数に等しくなります。
周期的準同型性
S x = EとなるEの要素xが存在する場合、 u は巡回同型写像であると言います。
循環準同型性はいくつかの方法で特徴付けることができます。 Eの準同型性u は、次の場合にのみ循環的です。
- uの最小多項式の次数はEの次元に等しい
- uの最小多項式と 特性多項式は（符号まで）等しいです。
- 準同型性は、 uの多項式である場合に限り、 uと可換です。
- uの行列がコンパニオン行列であるEの基底が存在します。これは、 uの最小多項式のコンパニオン行列になります。
フロベニウス分解
ベクトルの配列があります
$$ {x_1,x_2,\dots,x_p} $$
そのようなEの- $$ {E= S_{x_1}\oplus S_{x_2}\oplus\dots\oplus S_{x_p}} $$
- $$ {\pi_{u,x_p}\mid\dots\mid \pi_{u,x_2}\mid \pi_{u,x_1}} $$
多項式
$$ {\pi_{u,x_i}} $$
はベクトルx iの選択には依存せず、それらはuの不変因数です。最小多項式$$ {\pi_u =\pi_{u,x_1}} $$
そして特性多項式$$ {\chi_u=\pi_{u,x_1}\pi_{u,x_2}\dots\pi_{u,x_p}} $$
。2 つの準同型性は、同じ不変因子を持っている限り類似しています。
uによって誘起される内部同型性は特定の特性を持ち、それらは周期的内部同型性であり、その特定の特性はまだ研究されていないだけです。
アプリケーション
- フロベニウス分解を使用すると、準同型性の可換式と複可換式を研究できます。
- また、行列とその転置が類似しているという事実をエレガントに示すこともできます。コンパニオン行列に対して手動でデモンストレーションしますが、これで十分です。
