ジョルダン削減 - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

ジョルダン還元は、ジョルダンによって導入された準同型性の還元の行列変換です。この縮小は、特に微分方程式の解決や反復シーケンスの一般項を決定するための解析で非常によく使用されるため、「準同型性のジョーダン化」と呼ばれることもあります。

これは、ジョルダン基底と呼ばれる、準同型性の表現が低減される基底で準同型性の行列を表現することから構成されます。この還元は、ダンフォード分解を決定することで構成されます。つまり、2 つが可換で、その和が最初の準同型写像に等しくなるような対角化可能な準同型性と零同型性を見つけることです。その後、各特性空間に対して、ジョルダンによる還元を実行します。後者は、零能内部同型性の特定の枠組みにおけるフロベニウス分解の特殊なケースです。

ヨルダン基地の建設

u を、最小多項式が分割されるようなベクトル空間E上の準同型写像とする。これには次のプロパティがあります。

E はuの固有空間の直接和です。それらはここではE _iおよび関連する固有値λ _iで示されます。

E _iに対するuの制限は、比λ _iとの相似性と nilpotent endomorphism の和 ( _niilpotent endomorphism) です。

これらの結果は、ダンフォードの分解記事で実証されています。

E _iの基底E _{ij が}存在します。
$$ {(e_{i1}, e_{i2},\cdots,e_{ip_i})\;} $$
のような
$$ {n_i(e_{ij})=k_{ij}e_{ij+1}\;} $$
または
$$ {k_{ij}\;} $$
0 または 1 のいずれかに等しく、かつ
$$ {n_i(e_{ip_i})=0\;} $$
。

この結果は、Nilpotent Endomorphism の記事で実証されています。

代数的に閉じた体における準同型写像のジョルダン化

分割特性多項式を使用して、有限次元ベクトル空間における準同型性を考慮します。ジョルダンの定理は、次の形式の行列表現が許容されることを示しています。

$$ { \begin{bmatrix} \mathcal{J}_{\lambda_1} & & & & \\ & \mathcal{J}_{\lambda_2} & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \mathcal{J}_{\lambda_r} \\ \end{bmatrix}} $$

ここで、スカラーλ _{i は}考慮される準同型性の固有値です。

したがって、代数的に閉じた体上で、たとえば

$$ {\mathbb{C}} $$

、どのような準同型性でも、このタイプの分解は認められます。

警告: 各固有値に対する先験的なJordan ブロックは存在せず、複数のλ _{i が}同じ値を持つ可能性があります。

ブロックのプロパティ

このような表現を認める準同型写像 u を考えてみましょう。準同型性 u の特定の固有値λ を研究します。ブロックに関連付けられたベクトルをグループ化します。

$$ {\mathcal{J}_{\lambda}} $$

。それらは、固有値λに関連付けられた特性空間を形成します。これは、 u − λ I d が零能同型性n _{λ を}誘起する安定空間です。

λの多重度 (特性多項式の多重度 ) は特性空間の次元に等しくなります。
最小多項式のλの多重度は、準同型性n _λの零能指数に等しい。

行列類似度クラスへの適用

私たちは代数的に閉じられた場に自分自身を置きます。 2 つの行列は、ブロックの順序まで、ジョルダンブロック内で同じ書き込みがある場合に限り、類似します。

ジョーダン・ブロックス

ジョーダンブロックを次の形式の行列と呼びます。

$$ { \mathcal{J}_{\lambda} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & (0) & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & (0) & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}} $$

対角係数がすべてゼロである行列、つまり次の形式の行列を、ゼロポテントジョルダンブロックと呼びます。

$$ { \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & \\ & 0 & 1 & & (0) & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & (0) & & & 0 & 1 \\ & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}} $$

ジョルダンリダクションおよびディファレンシャルシステム

yの線形微分方程式系は、次数 1 の行列微分方程式、 u ‘( t ) = Au ( t )および初期条件_u ( 0) = u0に還元できます。ここで、 u ( t )は列ベクトルです。 yの連続導関数を含みます。微分方程式系が定数係数u ( t ) = exp( tA ) u ₀を持つ場合、分解能は明示的になります。ジョルダン正規形の利点は、ジョルダンブロック行列の計算が容易なことです。実際、サイズpのゼロポテントジョルダンブロックの指数関数は次のとおりです。

$$ {\exp{(t\mathcal{J_\lambda})} = \exp{(t\lambda)}\begin{bmatrix} 1 & t& \frac{t^2}{2} & \cdots & \frac{t^{p-1}}{(p-1)!} \\ 0 & \ddots&\ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &t& \frac{t^2}{2} \\ \vdots & 0&\ddots & \ddots & t \\ 0 & \cdots&\cdots & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} } $$

このようにして、この方法の計算上の利点がわかります。

ジョルダン削減 – 定義

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