ジョルダン削減 – 定義

ジョルダン還元は、ジョルダンによって導入された準同型性の還元の行列変換です。この縮小は、特に微分方程式の解法や反復シーケンスの一般項を決定するための解析で非常によく使用されるため、「準同型性のジョーダン化」と呼ばれることもあります。

これは、準同型性の行列をジョルダン基底と呼ばれる縮小基底で表現することで構成されます。この縮約は、 ダンフォード分解を決定することで構成されます。つまり、2 つが可換でその合計が初期の​​内部同型写像に等しくなるような対角化可能な内部同型性と冪能内部同型性を見つけます。その後、各特性空間上で因子の冪能内部同型性に対するジョルダン還元を行います。

ヨルダン基地の建設

u を、最小多項式が分割されるようなベクトル空間E上の準同型写像とする。これには次のプロパティがあります。

• E はuの固有空間の直接和です。それらはここではE _iおよび関連する固有値λ _iで示されます。

• uのE _iに対する制限は、比率λ _iとの相似性と nilpotent endomorphism の和 ( _niilpotent endomorphism) です。

これらの結果は、ダンフォードの分解記事で実証されています。

• E _iの基底E _{ij が}存在します。
  $$ {(e_{i1}, e_{i2},\cdots,e_{ip_i})\;} $$
  のような
  $$ {u(e_{ij})=k_{ij}e_{ij+1}\;} $$
  または
  $$ {k_{ij}\;} $$
  0 または 1 のいずれかに等しく、かつ
  $$ {u(e_{ip_i})=0\;} $$
  。

この結果は、記事 Nilpotent Endomorphism で実証されています。

ジョーダン・ブロックス

ジョーダン ブロックを次の形式の行列と呼びます。

対角係数がすべてゼロである行列、つまり次の形式の行列を、ゼロポテント ジョルダン ブロックと呼びます。

代数的に閉じた体における準同型性のジョルダン化

分割 特性多項式を使用して、有限次元ベクトル空間内の準同型性を考慮します。ジョルダンの定理は、次の形式の行列表現が許容されることを示しています。

$$ {\begin{bmatrix} \mathcal{J}_{\lambda_1} & & & & \\ & \mathcal{J}_{\lambda_2} & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \mathcal{J}_{\lambda_r} \\ \end{bmatrix}} $$

ここで、スカラーλ _{i は}考慮される準同型性の固有値です。

したがって、代数的に閉じた体上で、たとえば

警告: 各固有値に対する先験的な Jordan ブロックは存在せず、複数のλ _{i が}同じ値を持つ可能性があります。

ブロックのプロパティ

このような表現を認める準同型写像 u を考えてみましょう。準同型性 u の特定の固有値λ を研究します。ブロックに関連付けられたベクトルをグループ化します。

• λの多重度 (特性多項式の多重度 ) は特性空間の次元に等しくなります。
• 最小多項式のλの多重度は、準同型性n _λの零能指数に等しい。

行列類似度クラスへの適用

私たちは代数的に閉じられた場に自分自身を置きます。 2 つの行列は、ブロックの順序まで、ジョルダン ブロック内で同じ書き込みがある場合に限り、類似します。

ヨルダン削減の例

2 つの例を使用して、通過行列を決定する方法を検討してみましょう。

例1

次の例の通過行列を決定してみましょう。

$$ {A=\begin{pmatrix} 322 & -323 & -323 & 322 \\ 325 & -326 & -325 & 326 \\ -259 & 261 & 261 & -260 \\ -237 & 237 & 238 & -237 \end{pmatrix}.} $$

特徴的な空間、つまりベクトルxの解を探してみましょう。

$$ {(A-\lambda I)^k\mathbf{x} = \mathbf{0}} $$

これにより、通過行列の列を構成する要素を持つベクトルのシーケンスを決定できるようになります。

次に、5 が固有値であり、行列を定義するための基礎の最初のベクトルが関連する最小多項式(X-5) ⁴を持っていることに注意してください。したがって、その特徴的な空間は空間全体です。このベクトルをvで表すと、要素 ( A − 5 I ) ³ ( v )、( A − 5 I ) ² ( v )、( A − 5 I ) ( v ) およびvで構成される族は、 a を形成します。ヨルダンの基地。

$$ {\left\{(A-5I)^3\mathbf{v}, (A-5I)^2\mathbf{v}, (A-5I)\mathbf{v}, \mathbf{v}\right\}} $$

$$ {=\left\{ \begin{pmatrix} 5922 \\ 4230 \\ -3572 \\ -5170 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2857 \\ 2363 \\ -1962 \\ -2392 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 317 \\ 325 \\ -259 \\ -237 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}} $$

通過行列を決定しました。

$$ {P=\begin{pmatrix} 5922 & 2857 & 317 & 1 \\ 4230 & 2363 & 325 & 0 \\ -3572 & -1962 & -259 & 0 \\ -5170 & -2392 & -237 & 0 \\ \end{pmatrix}.} $$

ジョーダンの行列は次のとおりです。

$$ {J=J_4(5)=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.} $$

例 2

次の例を考えてみましょう

$$ {B = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}.} $$

Bの固有値は 4、4、2、1 です。さらに、次のことに注意してください。

$$ {\mathrm{dim}\ \ker{(B-I)} = 1, \mathrm{dim}\ \ker{(B-2I)} = 1, \mathrm{dim}\ \ker{(B-4I)} = 1, \mathrm{dim}\ \ker({B-4I})^2 = 2} $$

これから、ベクトル空間は次の直接和に分解されると推測します。

$$ {J=J_1(1)\oplus J_1(2)\oplus J_2(4)} $$

列ベクトル (0,0,−1,1) ^Tが行列 (-1,0,1,-1) ^Tによってイメージ化されていることがわかります。これら 2 つの列ベクトルは、固有値 4 の特性空間を生成します。

私たちは推測します

$$ {\ker{(B-4I)}^2 = \mathrm{Gen}\ \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\right\}} $$

パッセージ行列とジョルダン形式を推定します。

$$ {P=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\left((B-4I)\mathbf{v}\left|\mathbf{v}\left|\mathbf{w}\left|\mathbf{x}\right)\right.\right.\right.} $$

そして

$$ {P^{-1}BP=J=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.} $$

ジョルダンリダクションとディファレンシャルシステム

yの線形微分方程式系は、次数 1 の行列微分方程式、 u ‘( t ) = Au ( t )および初期条件_u ( 0) = u0に還元できます。ここで、 u ( t )は列ベクトルです。 yの連続導関数を含みます。この場合、解像度は明示的になります: u ( t ) = exp( tA ) u ₀ 。ジョルダン正規形の利点は、ジョルダン ブロック行列の計算が容易なことです。実際、サイズpのゼロポテント ジョルダン ブロックの指数関数は次のようになります。

このようにして、この方法の計算上の利点がわかります。