導入
数学におけるジョルダンの定理は、平面トポロジーの定理です。これは、その記述が明らかに直観的であることと、その実証が難しいことで有名です。 「実際、初等幾何学の公理ほど見かけ上明白で、証明が明白でない定理は他にほとんどありません」とドスタル氏は説明する。
鉛筆を使用して、交差せず、開始位置で終わる連続線を描く場合（鉛筆を持ち上げません）、描かれていないシートの領域は図の内部の2つの部分に分割されますは限定されていますが、葉がなければ限定されない外装です。これを確認するには、線の位置でシートをカットするだけで、2 つの部分が得られます。
この定理は平面のトポロジーの柱の 1 つであり、引き裂いたり再接着したりすることなく変形を研究することに相当します (平面は無限に柔軟だが引き裂けない風船で形成されていると考えられます)。その面白さを理解するのに面白いのが、三軒の謎です。計画では、点で表される 3 つの住宅と、水道、ガス、電気の 3 つの供給者を考慮します。目的は、各住宅と 3 つの供給業者を 2 つの回線が交差することなく回線で接続することです。ジョーダンの定理は、これが不可能であることを示しています。微分方程式をより深く理解するために使用されます。それは、複素解析、留数理論、 微分幾何学などで今でも見られます。
バーナード・ボルツァーノは、論文の結果を数学的な問題として考慮した最初の数学者です。これは、デモンストレーションの原点における定義を形式化します。 Camille Jordan が最初のデモンストレーションを作成しましたが、使用された数学的ツールが単純であるため、このデモンストレーションは今でも重要な意味を持ち続けています。ジョーダンは、 「分析コース」で、証明の簡単な部分を、解決策が書かれていない演習形式で提示します。これは、ヴェブレンのその後の実証を最初の完全な証明とみなすことにつながることがよくあります。
前文
声明
実際のアフィン平面のジョーダン曲線は単純な閉曲線であり、単純なヨーとも呼ばれます。言い換えれば、ジョルダン曲線は、円から平面への連続的かつ単射的な適用 φ のイメージ、あるいはイメージ内の円の全単射でもあります。円がコンパクトであるため、閉の φ による像は閉であり、その逆数が連続であることを示しており、その像上の準同型性について話します。乱用により、そしてよくあることですが、この記事では単純な閉曲線と単純なヨーという用語は、アプリケーション φ とそのイメージの両方を指します。より厳密な著者の中には、単純な閉曲線という用語はアプリケーション φ のイメージのみを指定し、閉曲線という用語はセグメント上に定義されたパラメータ化された円弧と同義であると考えている人もいます。
直観的には、接続は単一の部分の位相空間です。定理の接続には特定の特性があります。接続から離れない経路をたどることによって、同じ接続のある点から別の点に移動できます。その場合、円弧による接続について説明します。接続されたコンポーネントは、含めるための最大の接続です。言い換えれば、コンポーネントに補語の一部を追加すると、全体は接続されなくなります。境界という用語は、私たちが境界について持つ直感的な考えに対応しています。半径がゼロではなく、境界上の点を中心とする円板には、少なくとも 2 つの連結成分の点が含まれます。
ジョーダンの定理は次のように述べられています。
ジョルダンの定理—実アフィン平面におけるジョルダン曲線Sの補数は、正確に 2 つの異なる連結成分によって形成され、一方は有界であり、もう一方は有界ではありません。どちらもジョーダンSのカーブを境界線としています。
定理の難しさ
直感的なアプローチは誤解を招きます。私たちは通常、この記事の冒頭の図のように、比較的円に近い、シンプルでやや初歩的な靴紐を想像します。ただし、ジョーダン曲線はさらに複雑になる場合があります。左の図は、巻線数が多い例を示しています。赤い点がレースの内側にあるかどうかを知ることは、最初に考えているほど簡単ではありません。
シンプルな靴ひもは、2 つの異なる点が決して接触しないように、自由に変形した円形の弾性バンドとして見ることができます。ゴムバンドは無限に弾性があると仮定されます。つまり、無限の長さを取得することができます。これは、序論のスケッチャーは、無限の精度で無限に速く線を描くことができると想定されているということです。カール ワイエルシュトラスのアイデアに基づいて、数学者のヘルゲ フォン コッホは、どこにも微分できない単純なレースを発見しました。それを構成するパターンは無限に繰り返され、その枝が他の小さな枝を支え、さらに他の枝を含む雪の結晶に少し似ています… この構造はフラクタル幾何学に対応しており、境界の次元は厳密に 1 より大きくなります。図の小さな根の中に深くネストされた 2 つの点を結ぶパスは、ステートメントをざっと読んだだけでわかるほど直感的ではありません。
D. ルボルニュは次のように指摘しています。 「注目すべきことは、[…] 一方で、記述の極端な (見かけ上の) 単純さ、そして他方で、その論証が非常に困難であることです。 » 。定理の非常に一般性、つまり、導出可能性や少なくともジョルダン曲線のリプシッツ的性質などの規則性の仮説を仮定せずに定理が真であるという事実は、実際には「彼女は単純化していない」という以上にステートメントを複雑にします。それ。
用途
ジョルダンの定理は、数学のさまざまな分野に介入します。その自然な領域はトポロジーです。その使用法を説明する 1 つの方法は、左の図に示され、1917 年に Dudeney 閣下によって初めて提起された 3 つの家の謎です。下部の 3 つの赤い点をそれぞれ 3 つの家のそれぞれに接続する方法リンクが重ならないように上部に赤い点がありますか?ジョーダンの定理は、解決策がないことを示しています。あまり逸話的ではありませんが、この記事の結果はクラトフスキーの定理の証明の要であり、平面グラフの重要な結果です。
より古典的な使用法は、微分方程式群のより深い理解につながります。これは、形式x’ = f ( x ) の関数に対応します。ここで、 f は、平面内の実変数の十分に正則な関数です。これは、関数fによってモデル化された電流を流れる池のプラグの方程式として想像できます。解に境界がある場合、十分に大きな半径の円盤を残すことができません。コーシー-リプシッツの定理は、解が同じ点を 2 回通過できないことを示しており、この制約により、解はある点に向かって収束するか、リミット サイクルに向かって収束する必要があります。言い換えれば、コルクはジョーダンの靴紐の周りで停止したり、無限に回転したりすることになります。この結果は、ポアンカレ-ベンディクソンの定理として知られています。
複素数分析では、複素数の値を使用して複素数変数の関数を研究します。ここでfと示される関数が (複素的な意味で) 微分可能である場合、定義領域内の各点で系列全体に展開でき、領域内の点におけるこの系列の収束半径は決して小さくなりません。ゼロ。このような関数は有理型と呼ばれます。これには、有理分数の分母のゼロとある程度同じ性質の特異点が含まれる場合があります。 γ を複素平面の単純なループとし、 fのゼロも特異点も通過しないものとします。ループ γo f は、ループ内にゼロが含まれる回数だけ根を周回します。ヨー γo fの曲線積分の値は、ヨー γ の内部にある特異点と密接に関係しており、この結果は留数定理として知られています。これらのさまざまな理由から、ジョルダンの定理を提示せずに複素解析に関する本を書くことはほとんど不可能です。
微分幾何学も無視されません。これにより、任意の単純なレースを方向付けることができ、単純な導出可能なレースの合計曲率が 2π に等しいことがわかります。これらのさまざまな理由により、D. Leborgne は、この論文の結果が次のいずれかであると書いています。 » 。