導入
数学では、実証により、一連の演繹規則に基づいて、初期命題から命題を確立したり、初期命題から以前に実証された命題を確立したりすることが可能になります。一度実証された命題は、それ自体他の実証でも使用できます。この場合、一般に補題と呼ばれます。最初の命題が正しい状況では、実証された命題も真であるはずです。それは、最初の命題の 1 つまたは複数、または演繹規則自体のシステムに疑問を投げかけることによってのみ、疑問を投げかけることができます。
この説明は理想的かもしれません。証明が部分的に、たとえば幾何学的な直観に基づいているため、認められているすべての性質、公理が明示的ではないことが起こります。たとえば、ユークリッドの原論に見られる幾何学の実証は今日でも厳密さのモデルと考えられていますが、デイヴィッドが『幾何学の基礎』でヒルベルトに示したように、ユークリッドは部分的に暗黙の公理に依存しています。さらに、数学者の実証は形式的なものではなく、実証は広い意味で正しいとみなされる一方で、厳密に説明されるべき点が残っていたり、「軽微な」間違いによって他の点が損なわれたりすることさえあります。私たちは読者に読んでもらい、読者を説得するためにデモを作成しますが、必要とされる詳細レベルは読者の知識によって異なります。しかし、コンピュータと実証支援システムの出現により、現代の数学者は、プログラムによる検証が必要な実証を作成するようになりました。
数学の分野以外では、たとえば法律において、実証は証明の補足として行われ、聞き手や読者の支持を得る目的で述べられる一連の議論です。
デモンストレーションの類型化
数学的な証明は、特定の推論に従ってさまざまな段階を経ます。特定の主要なタイプのデモンストレーションには、特定の名前が付けられています。
- 数学者は、直接論証について、非常に非公式に話します。これは、ステートメントの構成要素のみを使用し、構成要素を再構成したり、より強力な定理から演繹したりすることなく、可能な限り単純な方法でステートメントをデモンストレーションすることです。特定の文脈では、不条理または対比による実証は間接的であると考えることができます。
- 例による証明 (それぞれ反例の検索) により、存在特性の検証 (または普遍特性の無効化) が可能になります。特定の条件下では、普遍命題は 1 つまたは複数の適切に選択された例によって証明できます。
- 不条理による論証は、論証されるべき主張の否定を肯定することによって矛盾、典型的には命題とその否定に行き着くことを示すことからなる。
- デモンストレーションは、それが存在を確立する対象の構造や効果的な研究方法を含む場合に建設的です。
- 帰納法による証明は、アサーションがすべての自然数に対して証明可能であることを主張する特定の演繹法 (リカレンスと呼ばれる) に依存します。それは、 0 (または1 ) についてのアサーションを証明し、次に整数nについてのアサーションを証明することから構成されます。整数n+1のアサーションを推定できます。特定の整然とした集合の要素、または自然数を記述する方法を拡張する方法で構築された構造には、より一般的な変形があります。
- 確率的証明では、 確率理論を使用して、オブジェクトの確実な存在を証明します。これを「この定理はおそらく正しい」という表現と混同しないでください。
