パッセージマトリックス - 定義

導入

パス行列(または塩基変化行列) を使用すると、ベクトル、線形マップ、および双線形形式の行列表現の塩基変化公式を作成できます。

意味

させて

$$ {\mathbb K} $$

可換体、E は K ベクトル空間、 B、B’ はEの 2 つの塩基です。

BからB’への遷移行列は次のように表されます。 $$ {P_B^{B’}} $$

は、基底Bが与えられたEの中で、基底B ‘が与えられたEの恒等マップId _Eを表す行列です。

$$ {P_B^{B’}=\mathcal M_{B’B}(\mathrm{Id}_E).} $$

この定義により、基本変化定理の迅速な証明が可能になりますが、以下の段落では、より実践的な次のような解釈が提供されます。

$$ { B =(e_{1} \dots e_{n})} $$

そして

$$ { B’=(e’_1 \dots e’_n)} $$

、そしてもし

$$ {\forall j \in [\![1,n]\!], \quad e’_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i } $$

それで

$$ {P_B^{B’} = (a_{i,j})_{i,j=1}^n\in\mathcal M_n(\mathbb K).} $$

記憶上の理由から、 B ‘を新しい塩基、 B を古い塩基とみなします。

したがって、通過行列の列は、古い基底で表現された新しい基底のベクトルの座標にすぎません。

逆行する

BとB’ をEの 2 つの塩基とします。それで
$$ {P_B^{B’}} $$
反転可能であり、
$$ {\left(P_B^{B’}\right)^{-1}=P_{B’}^B.} $$

確かに、

$$ {P_B^{B’}P_{B’}^B=\mathcal M_{B’,B}(\mathrm{Id}_E)\mathcal M_{B,B’}(\mathrm{Id}_E) = M_{B,B}(\mathrm{Id}_E) = I_n.} $$

ベクトルの座標を変更する

ベクトルをみましょう
$$ {x \in E} $$
、それぞれ 2 つの基底BおよびB’の座標XおよびX’の列行列を持ちます。それで
$$ {X=P_{B}^{B’}X’.} $$

実際、基底のペア ( B’,B ) の行列Aの線形マップfの場合、 B’のxの座標X’とBのf ( x ) の座標X は、 X=AX ‘によって接続されます。。しかし、 f =Id _Eの場合はf ( x )= xとなり、

$$ {A=P_{B}^{B’}} $$

。

この結果は、 x = e’ _jの場合、定義中に発表された実際的な解釈の証明を提供します。

$$ {P_{B}^{B’}X’} $$

はP_のj 番目の^列であり、

行列を双一次形式に変更

通常の場合

させて
$$ {\mathcal E,\mathcal E’} $$
Eの 2 つの基数、 Pの通過行列
$$ {\mathcal E} $$
もっている
$$ {\mathcal E’} $$
、および φ は、行列AのE上の双一次形式です。
$$ {\mathcal E} $$
そしてBの
$$ {\mathcal E’} $$
。それで
$$ {B=^{\operatorname t}\!P\ A\ P\,} $$
、
または
$$ {^{\operatorname t}\!P} $$
はPの転置行列を表します。

実際、実数X’およびY’のすべての n タプルについて、次の座標ベクトルX’およびY’をxおよびyで表します。

$$ {\mathcal E’} $$

、そしてXとYによって、これらの同じベクトルの座標が

$$ {\mathcal E} $$

、我々は持っています

$$ {^{\operatorname t}\!X’\ B\ Y’=\varphi(x,y)=^{\operatorname t}\!X\ A\ Y= ^{\operatorname t}\!(PX’)\ A\ (PY’)=^{\operatorname t}\!X'(^{\operatorname t}\!P\ A\ P)Y’,} $$

X’とY’は任意なので、これは 2 つの行列が等しいことを証明します。

この場合、行列AとB は合同であると言われます。

バリエーション

たまたま、 E x EではなくE x Fで定義された双一次形式 φ を考慮することがあります。ここで、 F は必ずしもEに等しいとは限らないベクトル空間です。もし
$$ {\mathcal E,\mathcal E’} $$
は通過行列Pを持つEの 2 つの基底であり、そして
$$ {\mathcal F,\mathcal F’} $$
Fの 2 つの基数と通過行列Q を使用すると、基数変更の式は次のようになります。

$$ {B=^{\operatorname t}\!P\ A\ Q.\,} $$

。

双線形形式の代わりにセスキ線形形式を考慮することもできます。この場合、式内でパッセージ行列の転置行列をその随伴行列で置き換える必要があります。

線形アプリケーションのマトリックス変更

させて
$$ {\mathcal E,\mathcal E’} $$
Eと
$$ {\mathcal F,\mathcal F’} $$
Fの 2 つの塩基、
$$ {f:E\to F} $$
基底の行列Aの線形適用
$$ {\mathcal E,\mathcal F} $$
そしてベースのB
$$ {\mathcal E’,\mathcal F’} $$
、それで
$$ {B=Q^{-1}AP,\,} $$
または
P は次の通過行列です。
$$ {\mathcal E} $$
もっている
$$ {\mathcal E’} $$
そして
Q は次の通過行列です。
$$ {\mathcal F} $$
もっている
$$ {\mathcal F’} $$
。

確かに、

$$ {Q^{-1}AP=\mathcal M_{\mathcal F’,\mathcal F}^{-1}(\mathrm{Id}_F)[\mathcal M_{\mathcal E,\mathcal F}(f)\mathcal M_{\mathcal E’,\mathcal E}(\mathrm{Id}_E)]= \mathcal M_{\mathcal F,\mathcal F’}(\mathrm{Id}_F)\mathcal M_{\mathcal E’,\mathcal F}(f)= \mathcal M_{\mathcal E’,\mathcal F’}(f)=B.} $$

したがって、行列AとB は等しいと言われます。

内部同型写像 (すなわちF = E ) の特定のケースでは、次のように選択すると、

$$ {\mathcal F=\mathcal E} $$

そして

$$ {\mathcal F’=\mathcal E’} $$

(つまりQ = P )、行列AとB は類似していると言われます。

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