導入
数学では、線形マップ(線形演算子または線形変換とも呼ばれます) は、ベクトルの加算とこれらのベクトル空間で定義されたスカラー倍算を考慮した 2 つのベクトル空間間のマップです。つまり、「線形結合を保存します。」
定義
f をEからFへの写像とします。ここで、 EとF は体K上の 2 つのベクトル空間です。
写像 ƒ は、次の場合に限り線形写像(またはKベクトル空間の射) です。
- $$ {\forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y),} $$
- $$ {\forall\lambda\in K,\forall x\in E,f(\lambda x)=\lambda f(x).} $$
最初の特性を持つアプリケーション f は相加的であると言われ、 2 番目の特性については均一であると言われます。次の場合に限り、これら 2 つのプロパティを同時に持ちます。
- $$ {\forall(x,y)\in E^2,\forall(\lambda,\mu)\in K^2,f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),} $$
もっと単純に言えば、次の場合に限ります。
- $$ {\forall(x,y)\in E^2,\forall\mu\in K,f(x+\mu y)=f(x)+\mu f(y).} $$
- 同型射は全単射射です。
- 準同型写像は、同じ開始ベクトル空間と終了ベクトル空間を持つ射です。
- 自己同型性は全単射同型性です。
- 到着ベクトル空間が本体Kである場合、線形形式と言えます。
注意します
- L K ( E , F ) EからFまでの線形マップのベクトル空間。
- I s o m K ( E , F )はEからFへの同型写像のセットです。
- L K ( E ) Eの準同型性のベクトル空間。
- G L K ( E ) (線形群とも呼ばれる) Eの自己同型の群。
(下付き文字本体Kは省略され、暗黙的に示される場合があります。)
例
- 比aのベクトル相似性と呼ばれる準同型性: $$ {f : x \mapsto a\cdot x} $$ここで、 a はスカラーです。
- R の Rの微分可能写像の空間からRのRのすべての写像の空間への導出写像：
- d: $$ {\mathcal D(\R,\R)\to\mathcal F(\R,\R),\qquad h\quad\mapsto\quad h’} $$
- d:
コアとイメージ
ƒ がEからFへの線形マップである場合、Ker(ƒ) で示される ƒ のカーネルと、Im(ƒ) で示される ƒ のイメージは次のように定義されます。
- $$ {\operatorname{Ker}(f)=\{\,x\in E/f(x)=0\,\}=f^{-1}(\{0\})} $$
- $$ {\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x)/x\in E\,\}=f(E)} $$
Ker は、ドイツ語の「カーネル」の翻訳であるKernに由来します。私は画像からです。集合Ker(f) はEのベクトル部分空間であり、集合 Im(f) はFのベクトル部分空間です。より一般的には、
因数分解定理は、 f がイメージ im f上の商ベクトル空間E /ker fの同型性を引き起こすと述べています。同じ次元を持つ 2 つの同型空間では、ランク定理と呼ばれる、有限次元の空間Eに対して有効な次の関係に従います。
- $$ { \dim(\operatorname{Ker}( f )) + \dim(\operatorname{Im}( f )) = \dim( E ) \,} $$。
数値dim( Im(ƒ) ) はƒ のランクとも呼ばれ、rg(ƒ) と表されます。
プロパティ
- EからFまでの線形マップの集合L ( E , F ) はベクトル空間です。
実際、 L ( E , F ) は、 EからFへの写像のベクトル空間のベクトル部分空間です。 null アプリケーションが含まれているため、空ではありません。 aとb が2 つの線形マップである場合、それらの和は常に線形になります。最後に、 λ がKの要素である場合、マップ λ aも線形であることに注意します。
- 2 つの線形アプリケーションの合成は線形です。より正確には:
- L ( E , F ) の線形マップ f は、 Eの基底の f によるイメージによって完全に決定されます。
実際、( e i ) ( Iのi要素) をEの基底とし、 x をEのベクトルとします。この場合、次のような固有のほぼゼロの係数ファミリー (λ i ) が存在します。
ƒ の線形性は、 xのイメージが基底のイメージの知識によって完全に決定されることを示しています。
- EとF が有限次元ベクトル空間である場合、 L ( E , F ) の次元も有限であり、 Eの次元とFの次元の積に等しくなります。
L ( E , F ) の次元を決定する最も簡単な方法は、この空間の底を決定することです。 i が1 からnまで変化する場合の ( e i ) をEの基底とし、 j が1 からmまで変化する場合の ( f j ) をFの基底とします。 αβを、αβ （ ｅ α ） ＝ ｆ βであり、すべてのｉがαとは異なり、 αβ （ｅ ｉ ）＝ゼロベクトルとなるような固有の線形マップとする。
線形マップのファミリー ( a ij ) は無料です。実際、この族の非ゼロ線形結合c を考えてみましょう。
少なくとも 1 つの係数αβがゼロ以外です。この場合、ベクトル f βの係数が非ゼロであるため、 c ( e α ) は非ゼロであり、これはcが非ゼロであることを示しています。唯一のゼロ線形結合は自明であり、これは族が自由であることを示しています。
ファミリー ( a ij ) は生成的です。 b をL ( E , F ) の要素とします。 μ ij が、考慮されているFの基底におけるベクトルe iの座標を表すものとします。 b’ を次のように定義される線形マップとします。
アプリケーションbとb’ はスターティング セットに基づいて結合されます。それらは両方とも線形なので等しいです。したがって、 L ( E , F ) の線形マップはファミリーの線形結合であり、その生成特性を示します。
この基数の基数は実際にEの次元とFの次元の積であり、これでデモンストレーションが完了します。
- 基底を使用した線形応用によるベクトルのイメージの計算には、行列の概念が使用されます。
