線形結合について詳しく解説

導入

数学では、線形結合は線形代数およびその他の数学の関連分野の中心的な概念です。この記事の大部分は、可換体上のベクトル空間のコンテキストでの線形結合を扱い、記事の最後にいくつかの一般化を示します。

定義

K を可換体、 E をK上のベクトル空間とします。いつものように、 Eベクトルの要素とKスカラーの要素を呼びます。もし

はEのベクトルであり、 スカラーの場合、これらのスカラーを係数として持つこれらのベクトルの線形結合は次のようになります。

$$ {a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n} $$

慣例により、ベクトルが関与しない線形結合はnull と宣言されます。

無限の項での線形結合について話したいかもしれません。次に、介在するスカラーは有限数を除いてすべてゼロであることに同意します。

Eおよびほぼすべてのゼロ スカラーの族 (つまり、おそらく有限数を除いてすべてゼロ)、族の線形結合係数のは次の合計です。

$$ {\sum_{i\in I}\lambda_ix_i} $$

線形依存関係は、ゼロ ベクトルに等しい線形結合です。自明な線形依存関係は、すべてゼロの係数の族によって与えられるものです。

生成されたベクトル部分空間

任意の可換体Kと任意のベクトル空間Eを考えて、次のようにします。

Eのベクトルこれらのベクトルのすべての線形結合のセットを検討することは興味深いことです。このセットは、これらのベクトルによって、たとえばセットによって「生成されたベクトル部分空間」（または単に「生成された部分空間」）と呼ばれます。 。注意しましょうまたは< A >全体

$$ { \mathrm{Vect}( v_1 ,\ldots, v_n) = \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n / a_1 ,\ldots, a_n \in K \} \,} $$

例と反例

Kを体とする

実数、 E をユークリッド ベクトル空間とする 。

ベクトルe ₁ = (1,0,0) 、 e ₂ = (0,1,0) 、およびe ₃ = (0,0,1)を考えてみましょう。

したがって、任意のベクトル

は、 _e1 、 _{e2 、}および_e3の線形結合です。

これを実証するために、次の任意のベクトル( a ₁ 、 a ₂ 、 a ₃ )を考えてみましょう。

、そして次のように書きます。

$$ { ( a_1 , a_2 , a_3) = ( a_1 ,0,0) + (0, a_2 ,0) + (0,0, a_3) \,} $$

$$ { = a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1) \,} $$

$$ { = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 \,} $$

一般化

Eが位相ベクトル空間の場合、 Eのトポロジーを使用して無限の線形結合を理解することができます。たとえば、無限和について話すことができます。

。

このような無限の線形結合は常に意味をなすわけではありません。それらがある場合、それらを収束と呼びます。この場合、より多くの線形結合を考慮できるようになると、生成されたベクトル部分空間、線形独立性、および基底のより広い概念にもつながる可能性があります。

K が体ではなく可換環である場合、線形結合について上で述べたことはすべて変更せずに一般化されます。唯一の違いは、これらの空間をベクトル空間ではなくE空間モジュールと呼ぶことです。

Kが非可換リングの場合、線形結合の概念はさらに一般化されますが、1 つの制限があります。非可換リング上のモジュールは右手系または左手系のモジュールである可能性があるため、線形結合は右式で書くこともできます。 -handed または on the left、つまり、モジュールの性質に応じて、スカラーが右側または左側に配置されます。右側にスカラーを掛けるだけです。

E が2 つのリングK _GとK _Dにわたるバイモジュールである場合、より複雑な適応が発生します。

この場合、最も一般的な線形結合は次のようになります。

$$ { a_1 v_1 b_1 + \cdots + a_n v_n b_n \, } $$

または

K _Gに所属し、 K _Dに所属し、 Eに所属しています。