導入
線形代数では、体K上のベクトル空間Eが与えられると、 Eのベクトル部分空間は、線形結合によって安定なEの空でない部分Fになります。つまり、この部分では次のことを確認する必要があります。
これらの条件では、ヌル ベクトルがFに属することが必要です。誘導法則を備えたFはKベクトル空間です。ヌル空間{0}と合計空間Eは、それぞれEの最小ベクトル部分空間と最大ベクトル部分空間です。一般に、ベクトル部分空間の有限和集合は、線形結合の下では安定しません。しかし、家族のことを考えると、
$$ {(F_i)_{i\in I}} $$
Eのベクトル部分空間の交点はEのベクトル部分空間です。家族の合計$$ {(F_i)_{i\in I}} $$
は、すべてのF i を含む最小の部分空間です。
同等の定義
サブセットFは、
$$ {\mathbb K} $$
-次の場合に限り、 Eのベクトル部分空間: - $$ { F \subset E } $$
- $$ { F \neq \emptyset } $$;
- $$ { \forall u,v \in F, \ u + v \in F } $$;
- $$ { \forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall u \in F , \ \lambda u \in F } $$。
これは次と同等です。
- $$ { F \subset E } $$
- $$ { F \neq \emptyset } $$;
- $$ { \forall u,v \in F, \forall \lambda,\beta \in \mathbb{K}, \ \lambda u + \beta v \in F} $$。
言い換えれば、 F は空ではなく、線形結合の下で安定している場合に限り、 Eのベクトル部分空間になります。
$$ {\ \{0\}} $$
、少なくとも 2 つのベクトル部分空間が存在します。これらは$$ {\ \{0\}} $$
およびE自体: これらを 2 つの自明なベクトル部分空間と呼びます。注意 1 : Eのベクトル部分空間F には必ずゼロ ベクトルが含まれます
$$ {\ 0_E} $$
Eの (実際、 F は空ではないので、少なくとも 1 つの要素が存在します) $$ {\ u_0} $$
オフ;だから、すべてについて$$ {\ \lambda} $$
で$$ {\ \mathbb{K}} $$
, λ u 0 はFに属します。選択$$ {\ \lambda = 0} $$
与えられた$$ {0_E = 0 \cdot u_0 \in F} $$
）。Eの部分集合FがEのベクトル部分空間であることを示す場合、F にベクトル null が含まれていることを確認することで、 Fが空でないことを確認することが多いのはこのためです (ベクトル null が含まれていない場合は、即時矛盾）。
注 2 : Eが に還元されない場合
$$ {\ \{0\}} $$
、全体的に定義します$$ { G = E \setminus \{0_E\}} $$
W = k Vとなる可換体Kの非ゼロ要素kが存在する場合、2 つの要素VとWがRで結合されるという同値関係R。この場合、 GとRの商集合であるP は、射影空間の非常に豊富な構造を持ちます。
ベクトル部分空間の結合
一般に、ベクトル部分空間構造は和集合によって安定しません。このケースを扱う提案は 2 つあります。
- ( F i )がEのベクトル部分空間のファミリーであり、このファミリーの 2 つの要素の和集合が常にファミリーの 3 番目の要素に含まれる場合、ファミリーの和集合( F i )はEのベクトル部分空間になります。 。
- ここでのEは有限次元であり、それに関連する本体は無限のカーディナリティです。 ( F i )がEのベクトル部分空間の有限族であり、すべてEとは異なる場合、族( F i )の和集合は E とは異なります。
- f i を、 Fi上で消える非ゼロの線形形式とする。次に、次のように定義される体におけるEの関数φ を考えてみましょう。
- $$ { \forall x \in E \quad \varphi(x)=\prod_i f_i(x)} $$
- この関数は多項式であり、 x がEの底で表される場合、 xの座標内でEの次元と同じ数の変数で表されます。フィールド上の複数の変数を含む多項式のリングは整数であり、 φ は非ゼロ多項式の積であるため、 φ は非ゼロです。したがって、 φによる非ゼロのイメージを持つEのベクトルが存在しますが、このベクトルは族のどのベクトル部分空間にもありません。
- ( F i ) がベクトル部分空間のファミリーで、このファミリーの 2 つの要素の和集合が常にファミリーの 3 番目の要素に含まれる場合、その和集合はベクトル部分空間です。
- 共用体は空ではありません。この性質はベクトル部分空間の結合に適用されるため、外積に対して安定であることは明らかです。この族の 2 つの要素の和集合は常にこの族の 3 番目の要素に含まれるため、加算によっても安定になります。このようにして結果が実証される。
