数学における族の概念は、数列、有限数列、または整数でインデックス付けされた数列の概念を一般化したものです。したがって、線形代数では、有限族であるベクトル族 ( u 1 , u 2 , …, u n ) 、または可算族 ( u n ) n ∈ Nについて話すことができます。 「自由な家族」などの表現で暗黙的に示される場合もありますが、家族は常にインデックス付けされます。
インデックス ファミリ:定義
家族
家族の要素について話すとき、それは応用としての家族の全体像の要素です。家族の要素
ファミリのカーディナリティについて話すとき、それはアプリオリにそのすべてのインデックスのカーディナリティ (または同等に、アプリケーションとしてのファミリのグラフのカーディナリティ) です。そうは言っても、そのようなカーディナリティーの一連のインデックスでファミリーを常に指定できます。したがって、有限ファミリはインデックスのセット (要素ではなく) が有限であるファミリ、無限ファミリはインデックスのセットが無限であるファミリ、可算ファミリはインデックスのセットが可算であるファミリなどです。
また、インデックスのセットが整数のセットまたはそのサブセット、有限または無限 (最初のn 個の整数、ゼロ以外の整数など) であるシーケンスをファミリーとも呼びます。しかし、これは排他的ではありません。たとえば、線形代数では、この場合であってもベクトルの族について簡単に話します。
より一般的には、集合論では、インデックスのセットが序数である、または「明示的に」適切に順序付けされたセットであるファミリーのシーケンスについて話すことができます。
公理的な集合論
公理的な集合論では、アプリケーションはほとんどの場合そのグラフで識別されます。つまり、それはペアの集合です。 Iで定義されたマップは、 Iの各要素がこのセットのペアの最初のコンポーネントとして 1 回だけ現れるようなペアのセットです。したがって、これはIによってインデックス付けされた集合の族の定義でもあります。この場合、到着セットはあまり気にしません。ただし、{ A i } i ∈ Iが集合の族である場合、実際にA iの集合について話すことができることを示します。
- {あい| i ∈ I } は集合です。
これは、基本的に、アプリケーションがペアの集合であるという事実と理解の公理の図を使用することによって実証できます (集合論におけるペアの定義に戻り、和集合の公理を使用する必要があります)。
