導入
数学における多項式は、1 つまたは複数の不定数のべき乗の積の線形結合であり、通常はX、Y、Z で表されます。これらのオブジェクトは、局所的に任意の近似値を与えるという理由だけで、実際に広く使用されています。微分可能な関数 (限定開発を参照) を使用し、滑らかな形状を表現できるようにします (多項式関数の特定のケースについて説明した記事「ベジェ曲線」を参照)。
単位環上に不定数をもつ多項式(一般に代数)は、次の形式の式です。
- $$ { a_0 + a_1 X^1 + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n \,} $$
ここで、 X は多項式の不定と呼ばれる記号であり、リングのどの要素とも異なるものとみなされ、係数a i はリング内にあります。
応用数学、解析学、線形代数では多項式と多項式関数を混同することがよくありますが、一般の代数学では同じではありません。この記事では主に、不定数を含む形式多項式を扱います。
歴史的考察
多項式の歴史は代数の歴史と切り離せないものです。当初は方程式を解くために作成されましたが、多項式関数と混同されます。研究が深まるにつれて、形式多項式と多項式関数をより明確に区別することが必要になります。この進化は、一般代数の発展と連動して起こります。その後、係数は実数や複素数などの通常の数の領域を離れ、ユニタリ可換環または任意の体に属します。形式多項式の研究は、形式級数の研究への扉を開きます。
多項式関数
A [ X ] の任意の多項式f(X)に対して、多項式関数f を定義および到着集合Aに関連付けることができます。 f(X)内の記号X をすべてaに置き換えることによって、指定された引数aに対するこの関数の値を取得します。一部のリングA (有限体など) では、2 つの異なる多項式が同じ関連多項式関数を持つ可能性があるため、代数学者は多項式と多項式関数を区別します。これは実数や複素数の本体には当てはまらないため、「分析者」は 2 つの概念を分離しません。
例：完成ボディ上
評価射: より一般的には、多項式f(X)では、記号を置き換えることができます。
- $$ { f ( M ) = a_n M^n + a_{n – 1} M^{n – 1} + \cdots + a_1 M + a_0 I_n \,} $$
- $$ { f ( u ) = a_n u^n + a_{n – 1} u^{n – 1} + \cdots + a_1 u + a_0 Id_{\mathbb K} \,} $$
上記の 2 つの多項式は異なりますが、それらに関連付けられた評価射は同一であることに注意してください。したがって、 f は評価射であり、 f(u)は内部同型の多項式、 f(M)は行列の多項式、 f(X) は不確定性Xの多項式であり、より地味に多項式と呼ばれます。
多項式関数は、評価準同型性を基底体の要素 (ここではA)に制限するものです。
