多項式関数について詳しく解説

代数学では、多項式関数、または多項式関数は、次の形式の可換環 (多くの場合、体) K内の係数を持つ多項式に関連付けられた写像として定義されます。

$$ {f : x \mapsto a_n x^n + a_ {n – 1} x^ {n – 1} + \cdots + a_1 x + a_0 x^0} $$

ここで、 n は自然数で、 a _n 、 a _{n − 1} 、…、 a ₀は、多項式関数fの係数と呼ばれるKの要素です。これは、シグマ表記を使用して再度書くことができます。

$$ {f: x \mapsto \sum_{r = 0}^{n} a_r x^{r}} $$

f はKの係数を持つ多項式関数であると言います。

定義が複雑にならないように、多項式関数の開始セットKと終了セットL を指定しませんでした。実際、 Lには物体 (または環) K上に代数構造が与えられていれば十分です。このような構造には、多項式関数の定義に関係するすべての演算が含まれます。

K リングの乗算と加算の内部法則により、係数の乗算と加算が可能になります。
外部乗法則により、環 K の要素と集合L の要素の積を生成することができます。
内部乗算法則により、集合 L 内の要素 x とそれ自体との積を生成することができます。
内加法則により、L に属するa _k x ^kの形式の要素を加算することができます。

実際には、特定のケースに焦点を当てることがよくあります

$$ {K=L=\mathbb R} $$

（または

$$ {K=L=\mathbb C} $$

) これまでのすべての乗法則が組み合わされています。

解析では、ほとんどの場合、実数または複素数の係数を持つ多項式関数を考慮します (

$$ {K=\mathbb R} $$

または

$$ {K=\mathbb C} $$

）。

程度

非ゼロ多項式関数fの次数は、 a _kが非ゼロとなる自然整数kの最大値です (したがって、係数a _nがゼロでない場合はnになります)。慣例により、ゼロ多項式関数の次数は次のようになります。

$$ {-\infty} $$

。

a _k x ^kの形式の多項式関数の各項は、(次数kの)単項式と呼ばれます。最高次数の単項式の係数は、 fの支配的な係数と呼ばれます。 a _{0 は}fの定数係数と呼ばれます。

係数の特定

Kが無限可換体の場合、 Kの係数を持つ多項式の形式的な恒等性と、関連する多項式関数の恒等性の間には等価性があります。つまり、次の場合に限り、2 つの多項式は等しい (同じ次数と同じ係数を持つ) ことになります。関連する多項式関数は等しい。

より抽象的な用語: K 代数の射

$$ {P\mapsto \tilde{P}} $$

K [ X ] の

$$ {\mathcal F(K)} $$

多項式を持つもの

$$ {P(X)=\sum_{r = 0}^{n} a_r X^r} $$

K [ X ] の多項式関数を関連付けます

$$ {\tilde{P}: K \to K,\, x\mapsto \sum_{r = 0}^{n} a_r x^r} $$

、その後は単射になります。

この場合、多項式と関連する多項式関数を区別する必要はなくなります。

特殊な多項式

の多項式

次数 0 は非ゼロ定数関数と呼ばれます。
1度（または
$$ {\leq} $$
1)アフィン関数と呼ばれます、
次数 2 は二次関数と呼ばれます。
次数 3 は3 次関数と呼ばれます

多項式関数

$$ {f(x) = -7x^3 + \frac {2} {3} x^2 – 5x + 3} $$

は、支配係数が -7 で定数係数が 3 の 3 次関数の例です。

多項式関数の重要性

多項式関数は最も単純な関数であるため、多項式関数がよく使用されます。多項式関数の定義には加算と乗算のみが含まれます (べき乗は反復乗算の単なる省略表現であるため)。

これらは別の意味でも単純です。n以下の次数の多項式は、( n +1)階導関数がまったく同じゼロになる関数です。

数値計算における重要な側面は、多項式を使用した近似によって複雑な関数を研究できることです。定理により、特定の条件下でそのような研究が可能になります。

最も重要なのは、テイラーの定理です。これは、 n回微分可能な関数は局所的に多項式であるように見えると大まかに述べています。ワイエルシュトラスの近似定理は、コンパクトな区間で定義された任意の連続関数は、この区間にわたって必要に応じて均一に近似できると述べています。多項式によって。

多項式関数の商は有理関数と呼ばれます。基本的にコンピュータの中央処理装置で実行できるのは加算、乗算、除算(および論理演算) のみであるため、これらはコンピュータによって直接評価できる唯一の関数です。三角関数、対数関数、指数関数など、コンピューターを使用して評価する必要があるその他すべての関数は、適切な有理関数で近似する必要があります。

変数xの指定された値で多項式関数を評価するには、多項式を式として適用せず、 xのすべての累乗を計算するのではなく、はるかに効率的なホーナー法を使用します。

多くの等距離点で多項式を評価する必要がある場合、ニュートンの差分法を使用すると作業量が大幅に削減されます。 Charles Babbageの差分エンジンは、多くの点を使用してニュートンの差分法で多項式を評価することにより、対数と三角関数の値の大きなテーブルを自動的に作成するように設計されました。

ルーツ

多項式P ( X ) の根またはゼロは、 P ( r ) = 0 となる数値rです。 1 以上の次数の多項式の根を求めること、つまり「代数方程式を解く」ことは、次の 1 つです。最古の数学の問題。 P ( X ) = X2 ⁺ 1などの一部の多項式は、実数の集合に根を持ちません。複素数のセットで根を求めると、少なくとも 1 つ (ここでは 2 つあります) を見つけることができます。実際、次の(非定数) 多項式も見つかります。

$$ {\mathbb C [X]} $$

少なくとも 1 つの複素根を認めます (ダランベール-ガウスの定理を参照)。

ルートの多重度の順序

r が多項式P(X)の根である場合、 P ( X ) = ( X − r ) Q ( of P ( X )の値a _k r ^kとなる多項式Q(X)が_存在^します。 ( X − r ) は自然に因数分解されます)。 Q ( r )がゼロの場合でも、 ( X − r )を因数分解できます。次に、 r がP(X) の二重根であると言います。

より一般的には、多項式Q(X)とP ( X ) = ( X − r ) ^m Q ( X )およびQ(r)≠0となる非ゼロの自然数mが存在する場合、 rは次のようになります。次数mの根、または多重度mの a ( Qとm は一意です)。たとえば、多項式P ⁽ ^X ) = X 3 ⁻ 2したがって、 1 は Pの根であり、その多重度は 2 に等しく、0 は単一の根です。

多項式の根を計算する

1 次または 2 次の多項式の根を求めることは、「1 次または 2 次の方程式を解く」として知られる大学入学前教育の古典です。四則演算と根号（n 乗根）を使用して、係数から 4 次までの多項式の根を計算できる公式は、16世紀にすでに知られていました（カルダンの公式、フェラーリのニコラ・フォンタナ・タルターリア）。

1824 年にアーベルが証明したように、5 次以上の多項式にはそのような一般式は存在しません。この結果は、多項式の根の間の関係の詳細な研究に従事したガロアによって開発されたより一般的な理論のすぐ前にありました。

特定の多項式の実根の近似は、ニュートン法を使用して求めることができます。または、複素算術を使用してすべての複素根を特定できるラゲール法を使用すると、より効率的に求めることができます。これらのアルゴリズムは数値解析で研究されています。