関数の導関数は、関数が依存する量、つまり引数が変化したときにその関数がどの程度変化するかを決定する方法です。より正確には、導関数は、関数の微小な変化とその引数の微小な変化の間の比を与える式 (数値または代数) です。たとえば、速度は時間に対する変位の微分であり、加速度は時間に対する速度の微分です。
導関数の概念は、 17世紀にライプニッツとニュートンの著作の中で出現し、彼はそれを流動と呼び、次のように定義しました。
「2 つの一時的な増分の究極の商。」
関数の導関数
導関数の概念は関数解析における基本的な概念です。これにより、関数のバリエーションを調査し、曲線の接線を作成し、最適化問題を解決することができます。
直感的なアプローチ
この概念に直観的にアプローチするために、デカルト参照枠内の関数を表す曲線を与えてみましょう。連続的、つまり鉛筆 1 本のストロークで描かれ、非常に「滑らか」で、関連する関数がどこにあるかを示します。微分可能。
曲線上でどの点を選択しても、接線と呼ばれるもの、つまりこの曲線の方向に局所的に従う直線を描くことができます。具体的には、曲線とその接線をたどり、十分にズームインして近づくと、曲線とその接線を区別することがますます困難になります。曲線が「上昇」すると (つまり、関連する関数が増加すると)、接線も上昇することは簡単に理解できます。逆に、関数が減少している場合、接線は下降します。関数f が微分可能な横座標x 0 を与える場合、 x 0におけるfの微分数を、横座標x 0の点における曲線の接線の方向係数と呼びます。この実数は、関数のローカルな動作に関する貴重な情報を提供します。これは、変数が変化したときにこの関数が変化する速度の代数的尺度です。複数の変数を持つ関数の場合、その変数の 1 つに関する偏導関数について話します。
したがって、関数から導出された数値がある区間で正の場合、この関数は同じ区間で増加します。逆にマイナスの場合は減少します。導出された数値がある点でゼロの場合、曲線はその点で水平接線を持ちます。
反対の例では次のようになります。
|
歴史的アプローチ
17世紀後半から、数値解析の数学的分野は、特に無限に小さいものの概念といわゆる微積分との関係を扱うニュートンとライプニッツの微分積分の研究のおかげで目覚ましい進歩を遂げました。整数和。
しかし、 17世紀前半に曲線の接線の概念に関する研究を最初に実行したのはブレーズ パスカルでした。彼自身はそれを「タッチ」と呼んでいました。 17世紀末にはオスピタル侯爵もこの新しい理論の肉付けに参加し、特に導関数を使用して特定の不定形式の場合の極限を計算します (ロピタルの規則を参照)。イギリスの数学者であるウォリス (彼の名を冠した一連の積分で最もよく知られている) も微分解析の発展に貢献しました。
しかし、この新たに誕生した理論には、必要とされるすべての数学的厳密性がまだ備わっていません。特に、ニュートンによって導入された無限に小さいという概念は、より直観的であり、私たちが持っていない場合には誤差が生じる可能性があります。何が無視できるのか、何が無視できないのかを明確に理解すること。ダランベールが、今日使用され教えられているものと同様の形式で、増加率の制限として導出数のより厳密な定義を導入したのは18世紀でした。しかし、ダランベールの時代には、今度は限界という概念が問題を引き起こします。
私たちがこの表記を負っているのは、ラグランジュ ( 18世紀末) への一節です。
正式な定義
f を自明でない区間の和集合で定義された実数値を持つ実関数とし、 x 0 が定義セットの内部に属するものとする。
すべてのために
- $$ {t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}} $$
これは、座標点( x 0 , f ( x 0 ))と( x 0 + h , f ( x 0 + h ))を結ぶ直線の傾き係数です。もし
- $$ {f'(x_0) = \lim_{h \to 0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}} $$
または、同様に次のようになります。
- $$ {f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}} $$
ある点での増加率が限界 (導出された数) を認める関数は、その点で微分可能であると言われます。
この制限の計算は、図的には、この点での曲線の接線を見つけることになります。 したがって、ある点における関数の微分数は、存在する場合、その点における関数を表す曲線の接線の傾きに等しくなります。 |
導出は、集合以外の値を持つ実数変数の関数に対して定義することもできます。
たとえば、実数変数の関数fの値は
派生関数
微分可能性はアプリオリな局所的な概念 (点での微分可能性) ですが、関数が区間の任意の点で微分可能であれば、問題の区間上でその微分関数を定義できます。 fの導関数は次のように表されます。
- $$ {f’:\,\mathfrak{D}_f\rightarrow\R,\ x\mapsto f'(x)} $$
のあらゆる点で取る関数です。
したがって、微分可能関数fが増加すると、微分関数
微分関数は、特に実関数の研究や微分方程式で使用されます。その導関数と等しい関数は指数関数と呼ばれます (これはy ‘ = yの解です。詳細な記事を参照してください)。
評価
関数の導関数を表現するにはさまざまな表記法があります。私たちは以下を区別します。
- ラグランジュ表記:
- $$ {f’\left(x\right)} $$
- ライプニッツの表記:
- $$ {\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}} $$これは、より厳密には次と同等です。$$ {\frac{{\mathrm d} \left(f(x)\right)}{{\mathrm d} x}} $$
- アイザック・ニュートンの表記:
- $$ {\dot{x} = \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} = x'(t)} $$これはむしろ物理学で使用されます。
- 最後に、オイラーの表記法は次のとおりです。
- $$ {D_x f(x) \;} $$
通常の関数の導関数
| 機能 $$ {f(x) =\,} $$ | デリバティブ $$ {f'(x) =\,} $$ | 条項 |
|---|---|---|
$$ {a\,\!} $$ | $$ {0\,\!} $$ | $$ {x\,\in\mathbb{R}} $$ |
$$ {a x\,\!} $$ | $$ {a\,\!} $$ | $$ {x\,\in\mathbb{R}} $$ |
$$ {1 \over x\,\!} $$ | $$ {- {1 \over x^2}\,\!} $$ | $$ {x\,\in\mathbb{R}^*} $$ |
$$ {\sqrt{x}\,\!} $$ | $$ {{1 \over 2\sqrt{x}}\,\!} $$ | |
$$ {a x^n\,\!} $$ | $$ {anx^{n-1}\,\!} $$ | $$ {n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}} $$ |
$$ {a x^n\,\!} $$ | $$ {anx^{n-1}\,\!} $$ | $$ {n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*} $$ |
$$ {a x^c\,\!} $$ | $$ {acx^{c-1}\,\!} $$ | $$ {c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}} $$ |
$$ {\cos(x)\,\!} $$ | $$ {-\sin(x)\,\!} $$ | $$ {x\,\in\mathbb{R}} $$ |
$$ {\sin(x)\,\!} $$ | $$ {\cos(x)\,\!} $$ | $$ {x\,\in\mathbb{R}} $$ |
$$ {\tan(x)\,\!} $$ | $$ {1 \over \cos^2(x)} $$ または$$ {1+\tan^2(x)\,\!} $$ | $$ {x\neq {\pi \over 2} + k\pi} $$ 、 $$ {k \in \mathbb{Z}} $$ |
$$ {a^x\,\!} $$ | $$ {a^x \ln a\,\!} $$ | $$ {a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}} $$ |
$$ {\ln |x|\,\!} $$ | $$ {1 \over x\,\!} $$ | $$ {x\,\in\mathbb{R}^*} $$ |
$$ {\exp{x}\,\!} $$ | $$ {\exp{x}\,\!} $$ | $$ {x\,\in\mathbb{R}} $$ |
導出ルール
| 名前 | ルーラー | 条項 |
|---|---|---|
| 直線性 | $$ {(af+bg)^\prime = af’ + bg’} $$ | 微分可能な関数が何であれ $$ {f\,} $$ そして$$ {g\,} $$ そして実数aとb 。 |
| 製品 | $$ {(fg)^\prime = f’g+fg’} $$ | 微分可能な関数が何であれ $$ {f\,} $$ そして$$ {g\,} $$ |
| 商 | $$ {\left({f \over g}\right)’ = {f’g-fg’ \over g^2}} $$ | 微分可能な関数が何であれ $$ {f\,} $$ そして微分可能関数$$ {g\,} $$ キャンセルしないもの |
| 複合 | $$ {(f \circ g)’ = (f’\circ g) \cdot g’ ou (f(g(x)))’ = f'(g(x)).g'(x)} $$ | 微分可能な (および構成可能な) 関数が何であれ $$ {f\,} $$ そして$$ {g\,} $$ |
| 相互 | $$ {(f^{-1})’ = \frac{1}{f’ \circ f^{-1}}} $$ | どんな機能でも $$ {f\,} $$ 逆数の全単射$$ {f^{-1}\,} $$ 、非ゼロ導関数の微分可能 |
特に、化合物の導関数から推定される一般的なルールは次のとおりです。
名前 ルーラー 条項 力 $$ {(f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f’} $$かかわらず $$ {\alpha \in \mathbb Z} $$、そして何でも$$ {\alpha \in \mathbb R} $$f が正の場合根 $$ {\left(\sqrt f\right)’ = {f’ \over 2\sqrt f}} $$微分可能な関数が何であれ $$ {f\,} $$厳密にポジティブ指数関数的 $$ {(\mbox{e}^f)^\prime = \mbox{e}^f\cdot f’} $$何でも $$ {f\,} $$導出可能対数 $$ {(\ln f)^\prime = {f’ \over f}} $$微分可能な関数が何であれ $$ {f\,} $$厳密にポジティブ
この最後の表では、関数gとfの合成が注目されていないことを明記しておきます。
デモンストレーション
有限増分定理
- 声明
- 関数 ƒ が区間 [ a , b ] で連続で、 ] a , b [ で微分可能である場合、 ] a , b [ の点x 0が存在し、この点での導関数はa間の変化率になります。そしてb
- $$ {f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}} $$
- デモンストレーション
- まず ƒ( a ) = ƒ( b ) の場合にこれを実証します。関数は厳密には単調ではないため、関数が水平線でプロパティがすべての点で有効であるか、関数が最大値または最小値を示し、したがって、その導関数はある時点で消滅します。
- どのような関数でも、関数を減算することで前のケースに戻ります。
- $$ {g(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)} $$
- 次に (ƒ- g )( b ) = (ƒ- g )( a ) = ƒ( a ) となり、導関数の線形性が適用されます。
このプロパティは、点の読み取り値から速度ベクトルの近似値を決定するために運動学で使用されます。
関数の逆数を求める
どちらか
- $$ {(f^{-1})’ = \frac{1}{f’ \circ f^{-1}}} $$
デモンストレーション：
それを見せてみましょう
機能
として
この制限はゼロではないので、制限の逆定理によれば、次のようになります。
または、もう一度:
三角関数の逆数の導関数
以前の結果を使用して次のことを確立します。
- もし$$ {f(x) = \operatorname{Arcsin}(x)\,} $$、 それで$$ {f'(x) = {1 \over \sqrt{1-x^2}}} $$
- もし$$ {f(x) = \operatorname{Arcsin}(\varphi(x))\,} $$、 それで$$ {f'(x) = {\varphi'(x) \over{\sqrt{1-\varphi (x)^2}}}} $$
- もし$$ {f(x) = \operatorname{Arccos}(x)\,} $$、 それで$$ {f'(x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}} $$
- もし$$ {f(x) = \operatorname{Arccos}(\varphi(x))\,} $$、 それで$$ {f'(x) = {-\varphi'(x) \over{\sqrt{1-\varphi (x)^2}}}} $$
- もしそうなら$$ {f'(x) = {1 \over{1+x^2}}} $$
- もし$$ {f(x) = \operatorname{Arctan}(\varphi(x))\,} $$、 それで$$ {f'(x) = {\varphi'(x) \over{1+\varphi(x) ^2}}} $$
次数 n の導関数
帰納法でn回微分可能な関数のn次導関数を定義します。
ライプニッツの公式
f 、 g がn回微分可能な関数の場合、次のようになります。
特にn = 2の場合、
- $$ {(fg)”=f”g+2f’g’+fg”\,\!} $$。
ニュートンの二項公式との類似性に注意してください。
ライプニッツ記法
関連する変化率の導関数
導出関数の解析
導関数が 0 であるか存在しない x の値を見つけることによって、関数の臨界数が見つかります。 f の臨界数により、その最大値と最小値を暗黙的に見つけることが可能になります。一次導関数のテストを実行するには、変動テーブルを構築します。微分関数の符号が臨界数の前でプラスからマイナスに変化する場合は最大値が得られ、微分関数の符号が臨界数の前でマイナスからプラスに変化する場合は最小値が得られます。さらに、一次導関数の符号が正の場合、関数は上昇します。マイナスの場合は下がります。臨界点で関数の符号が変化しない場合、何も結論は出ません。一次導関数を微分すると、二次導関数が得られます。二次導関数テストを実行するには、一次導関数の臨界数を見つけて、それらを同じテーブルに配置します。この臨界数またはこれらの臨界数の前で二次導関数の符号の変化を観察すると、変曲点があると言います。変曲点は、関数の凹面の変化を示します。二次導関数の正の符号は関数が上に凹であることを意味し、二次導関数の負の符号は関数が下に凹であることを意味します。凹面の変化と関数の極値がわかれば、グラフのスケッチを描くことができます。
導出と最適化
微分法を使用して歩留まりを最適化する方法:
- 数学化
- 定義と描画: 未知の変数を定義し、図上に表現します。
- 目的関数を 2 つの変数に記述し、特定の状況で最大値を求めるか最小値を求めるかを指定します。
- 2 つの変数間の関係を見つけます。
- 目的関数を 1 つの変数に記述し、関数の定義域を指定します。
- 分析
- 関数を微分して一次導関数を取得します。
- 一次導関数がゼロであるか、領域の区間に存在しない関数の臨界数を見つけます。
- 一次導関数テストまたは二次導関数テストを実行して、状況の望ましい最大値または最小値を決定します。
- 私たちは質問に対して簡潔に答えを組み立てます。
導関数と漸近線
関数の漸近線を決定したら、それを変動テーブルに記録して、グラフの輪郭を適切に描くことができます。