導入
代数では、形式多項式、または単に多項式という用語は、一連の数値から構成される構造の要素に与えられる総称です。数値の集合A (整数または実数の集合) を考え、これにindeterminateと呼ばれる要素X を追加します。この構造は、数値、多項式X 、 Xのべき乗に数値を掛けたもので構成され、単項式( aの形式)とも呼ばれます。構造は一般にA [ X ] で表されます。加算と乗算の表記規則は新しい構造でも変更されていないため、 X + Xは2 と表されます。 ＸはＸ ２で表される。形式多項式の例は次のとおりです。
構造体A [ X ] を構築するために使用されるセットA は数値で構成できますが、これは必須ではありません。加算と乗算という 2 つの演算のサポートのみを要求します。これら 2 つの演算が結合性、可換性、および加算に対する乗算の分配性などの特定の特性を持っている場合、 A は可換環であると言います。多くの場合、乗算には中立要素が必要です。この記事ではこのケースのみを扱います。場合によっては、 A がフィールドであるなど、さらに強力なプロパティを持つことがあります。これは、有理数や実数のように、0 以外の要素は乗算で反転可能であることを意味します。この場合、加算と乗算に加えて、構造A [ X ] には整数の環のようなユークリッド除算があり、 初等算術の手法を使用して形式的な多項式を処理することが可能になります。ベズー恒等式は、ユークリッドの補題や算術の基本定理と同様に適用されます。既約単位多項式からなる素数に相当するものがあります。可換かつ単一の環Aの性質が何であれ、構造A [ X ] は少なくとも可換環の特徴を持っています。形式的多項式の環について話します。
形式多項式は、代数の基本ツールの 1 つです。当初は、いわゆる代数方程式を解くために使用されていました。代数方程式を解くことは、「得られる式が 0 になるようにX をどの値に置き換える必要があるか?」という質問に答えることになります。解は多項式の根と呼ばれます。形式多項式は現在、ガロア理論や代数幾何学など、方程式理論の範囲を超えた広範な理論で使用されています。
ちょうど環A が形式系列の環によってより大きな構造A [に拡張できるのと同じです。
この記事の残りの部分では、 A はユニタリ可換環と積分を指定し、 K は可換体、 Z は整数の環、 R は実数の体、 C は複素数の体を示します。
前文
直感的なアプローチ
形式多項式を設計する簡単な方法は、 ZやRなどの数値のセットに文字X を追加することです。この文字には数値との代数的な関係はなく、記述できるのはX + X = 2のような等式だけです。 X = X 2 。得られた集合では、加算と乗算が数値の集合に含まれ、リングという名前で形式化されているものと同じ性質を持つようにしたいと考えています。注目に値するアイデンティティは常に検証されるため、 a が何らかの数字を表す場合:
形式多項式は、有限数の項で構成され、すべて同じ方法で構成され、数値とXのべき乗の積で構成される式です。このような項は単項式と呼ばれ、数値は単項式の係数、 Xのべき乗は単項式の次数と呼ばれます。多項式5 0 ～ n :
加算は通常の数値と同様に行われるため、 aX n + bX n は( a + b ) X nと等しくなります。掛け算も同じルールに従い、これに次の法則を追加します。 X m = X n+mは、 nとm が2 つの正の整数を表す場合、 ( X n ) m = X mnを意味します。
歴史の断片
方程式の形式で形式化された質問を解くために、一連の数字に文字を追加するという考えは古いものです。それは3世紀のディオファントスに見られます。彼は、記号化以前の言語で文字S にXと同じ意味を与え、それを不定量の単位として認定しました。次に、文字S を含む式の加算と乗算の操作メカニズムを定義します。その動機は、求められる係数と解が整数または有理数である、いわゆるディオファントス方程式の解を探索することです。このアイデアはアラブの数学者によって採用され、解決策が合理的ではない場合に研究を一般化します。それらのうちの不定なものは「言う」という名前を持ち、人が探しているものを意味します。私たちは、単語gizr’に由来する文字X を彼らに借りています。これはrootを意味し、多項方程式の解に現在与えられている名前です。 12世紀の多項式の正式な導出など、特定の方法が開発されました。
この定式化は、多項式という用語を発明し、常に方程式の角度からそれを研究した16世紀の数学者、フランソワ ヴィエットによって取り上げられました。 1世紀後、多項式の形式は変更され、多項式はもはや文字Xが追加された式ではなく、数値のように動作します。しかし、数値と数値を関連付ける関数、現在では多項式関数と呼ばれるもので、形式的な多項式とは異なる概念です。 19世紀に、正式な多項式の必要性が再び現れました。カール・フリードリッヒ・ガウスは、著書『算術計算』の中で、円分多項式を因数分解して、定規とコンパスで作成可能な新しい正多角形を見つけました。有限体の係数を持つ多項式を使用するため、形式的多項式の概念が必然的に必要となり、再び注目を集めています。
1940 年代まで、形式主義はほとんど変化せず、不定という用語は常に一連の数字に文字X を追加するものを指し、表記法は進化しましたが、形式主義はビエテによって開発されたもののままでした。現在、さまざまな構造により、不定数を文字としてではなく実際の数学的オブジェクトとして定義することが可能になり、多項式は厳密に構築されます。この極めて重要な時期に、クロード・シュヴァレーは、1942 年のブルバキ著『第 2 章数学要素』の初版の準備文の中で次のように書いています。「私たちはn個の「文字」を導入したと言われますが、その後、これらの文字が特定の代数の要素。 » 。さて、不定という用語は、それを象徴する文字を指すことはほとんどなく、構造が異なる場合でも、要素自体を指します。
