導入
数学、特に代数では、円分多項式(ギリシャ語の κυκλας: 円と τομη: カットに由来) を、単位根と素体の係数を持つ最小多項式と呼びます。素体とは、乗算の統一によって生成される物体です。このようにして得られた多項式は、多項式X n − 1を既約因数の積に分解したときに現れる多項式でもあります。
有理数の場では、円分多項式は強力な特性を持ち、考慮されている根が 1 の n 番目の原始根である場合、次数がφ (n) に等しい整数係数を持つ多項式です。ここで、φ はオイラー指標関数を示します。円分多項式の根はすべて 1 の n 番目の原始根です。
有限の特性体のコンテキストでは、ガロア理論に訴える必要があります。既約多項式は円分多項式であるため、ガロア理論は不可欠であるように見えます (次数 1 の単位単項式を除く)。
一般に、関連する分解体 は円分拡張とも呼ばれ、ガロア群が巡回であるアーベル拡張です。
これらの多項式を分析すると、多くの問題を解決できます。歴史的には、定規とコンパスを使って正多角形を構築することが、この概念の発展につながりました。これらは、代数方程式を解き、アーベル拡張の構造を理解するために、ガロア理論で広く使用されています。これらは、修正コードの設計における暗号化の中心でもあります。
歴史
コンセプトの誕生
カール・フリードリッヒ・ガウスは、1801 年に出版された彼のDisquisitiones arithmeticaeで円分多項式を使用しています。これは、定規とコンパスを使用して正多角形を構築するという、古代以来未解決の問題に大きく貢献しています。これらの作品は、世紀を通じて参考として役立ちます。このテキストでは、ガウスは構築可能な多角形のリストを正確に決定し、256 辺の多角形までのそれらを構築するための効果的な方法を示しています。この構造上の問題については、ピエール ローラン ヴァンツェル氏が、今や有名な記事で決定的な答えを示しています。
このアプローチは革新的であり、多くの点で現代代数の先駆けとなります。
多項式は、それ自体のオブジェクトとしてではなく、構造化されたセットの要素として表示されます。多項式の環の概念がまだ形式化されていない場合は、そのユークリッド構造が発見されており、ガウス解析の基本ツールとなります。
円分方程式の効果的な解決により、ガウスは有限構造、つまり根の順列の構造を考慮するようになりました。これらは現在ではガウス周期と呼ばれています。ここでも、それらの代数的性質により、解決策を見つけることができます。このアプローチは、代数およびガロア理論における群理論の使用を先取りします。
その後、新しい構造が定義されます。ユークリッド除算では剰余の概念が導入され、その集合には強い代数的性質があります。このような構造は、除数が素数の場合、有限体の特殊なケースとみなされるようになりました。ガウスは、円分多項式の既約特性を示すために、2 つの環間の射による構造の輸送以前に、そのような集合と使用法を強調しています。同じ本の中で、彼はこれらと同じ構造を使用して、フェルマーによって予想され、オイラーによって形式化された別の問題、つまり二次相互法則の問題を解決しました。
この時から、数多くのアプリケーションが提案されてきました。幾何学の使用は定規やコンパスの構築に限定されません。インデックス 4 の円分多項式により、ガウス整数の新しい代数セットの構築が可能になります。 代数的整数論という数学の分野が誕生し、ディオファントス方程式の解決が簡素化され、新しい方程式を解くことが可能になります。
円分多項式と代数方程式
多項式方程式の解の探索は、アラビア語を話す数学者による多項式の最初の開発にまで遡る問題です。一般に、6 つの正準方程式を解決した先駆者としてアル・ハワリズミを挙げるとすれば、次に第 3 級事件の解決についてはジローラモ・カルダーノ、第 4 級事件についてはルドヴィコ・フェラーリが挙げられるが、一般的な事件は長い間謎のままであった。
Joseph-Louis Lagrange は、この一般的な問題の解決が根の順列の特性と密接に関連していることを理解しています。円分多項式の特定のケースがこれを示しています。今日ではガロア群と呼ばれる良好な置換の群は、可換であるだけでなく循環的でもあります。この特性は、ガウス周期の概念を通じて使用され、この特定のケースに対する効果的な解決を可能にします。
パオロ・ルフィニ、ニールス・ヘンリック・アーベル、特にエヴァリスト・ガロアによるより深い分析は、群の可換的側面が実際には十分条件であることを示しています。正確に言うと、この条件は、グループが一連の可換な入れ子グループに分解可能である必要があることを示します。その場合に生じる当然の疑問は、ガロア群が可換である有理数体の拡張を決定することです。これらの拡張はアーベル拡張と呼ばれます。円分多項式に関連付けられた本体構造 (円分拡張と呼ばれる) はその一例です。それが一意であるということは、根号によって解けるすべての代数方程式が何らかの形で円分多項式に帰着することを意味します。答えは肯定的です。有理数本体のアーベル拡張は円分拡張の部分本体です。この結果を実証するには、ほぼ半世紀の努力が必要でした。主な職人はレオポルト・クロネッカーとハインリヒ・ウェーバーです。
有限アーベル拡張の解析が19世紀で終わったとしても、たとえば算術など、幅広い分野の疑問が残されます。したがって、円分体の概念を無限の拡張にわたって一般化する必要があると思われます。このトピックはDavid Hilbertによって開始されます。この研究系統は階級体の理論と呼ばれます。この理論は、 20世紀で最も成功した理論の 1 つです。たとえば、ヒルベルトの問題の 9 番目を解決したエミール・アルティンの相反性定理、または最近では、理論の一般化に関する研究でフィールズ賞を受賞した 2 人の受賞者、1990 年のウラジミール・ドリンフェルドまたは 2002 年のローラン・ラフォルグを挙げることができます。
完成ボディ
ガウスによって始められた有限体理論の概要の発展には、さらに多くの時間が必要です。 19 世紀末、群理論により、有理数以外の拡張に取り組む必要性が明らかになりました。群を表現するには、フロベニウスが有限の特性を持つ物体を研究する必要があります。これらは、単位の反復合計が周期的にゼロになるフィールドです。ガロア理論を使用した分析により、この文脈では有限体の理論が不可欠であることがわかります。その知識は、有限特性の場合の円分多項式の構造を理解するのに十分です。
これらの遺体の分析は、特にアメリカンスクールの貢献のおかげで迅速に行われました。 20世紀初頭、LE Dickson とその後の Joseph Wedderburn の研究は、その構造を浮き彫りにしました。ディクソンは最初の体系的な研究を発表し、ウェダーバーンは 1905 年にすべての有限体が可換であるという定理を実証しました。円分多項式は既約多項式のセットを形成するため、必須です (次数 1 の単位単項式: Xを除く)。有限標数のすべての体上で、すべての有限拡張は円分です。
20世紀後半、有限体を使用した新しい研究分野、つまり暗号化が行われました。コードのセキュリティが円分多項式の使用を必要としない場合、一方で信頼性、つまりエラーを修正する能力が多項式を使用する場合、修正コードについて話します。このタイプのコードを最適化するには、有限体と円分多項式を使用します。たとえば、ハミング コード、またはより一般的な場合には、巡回冗長制御を可能にするコードを挙げることができます。アルゴリズムの側面も広く研究されています。