導入
数学における代数的整数論は、数をより深く理解するために代数のツールを使用する算術の一分野です。その起源は、整数、特にディオファントス方程式の研究です。それらのいくつかを解決するには、代数と呼ばれる他の整数を考慮することが役立ちます。例は、ガウス整数を使用したフェルマーの 2 平方定理によって示されます。
これらの集合には、加算と乗算という2 つの法則が備わっており、これらは自然整数 (リングについて話しているもの) と同じ基本的な性質を検証します。特に、ユークリッド除算を特徴とするものもあります。自然数の算術の古典的な結果は、ユークリッドの補題、ベズーの恒等式、さらには算術の基本定理など、今でも適用されます。特に使用されるのは、整数の合同式から構成される商環Z / nZの構造です。これは、代数的整数論の一分野であるモジュラー算術の起源にあります。
この性質のすべての集合がユークリッド分割を許容するわけではありません。いくつかの素因数への分解が存在する場合があります。この特異性は、これらの構造の特性の一般的な研究につながります。選択したセットがそれほど広大ではない場合、つまり、セットのすべての要素が次数n を超えない多項式の根となるような整数nが存在する場合、常に検証されるプロパティのファミリーが存在します。このような構造はデデキント環と呼ばれます。これらの構造の研究は、古典的代数的数論と呼ばれます。
別の構造が便利です。これは、すべての非ゼロ要素が乗算の逆数を許容するように考慮された代数整数の集合を含む最小の集合に対応します。この構造は体と呼ばれ、有理数の構築を可能にするものと同じ性質のプロセスによって得られます。分数の体について話します。代数的数と呼ばれる要素を持つこれらの集合は、いわゆるガロア理論の主題です。
ガロア コホモロジー、類体の理論、有限群の表現理論、L 関数などの高度な数学技術により、これらの数クラスの詳細な特性を研究することが可能になります。数論の多くの問題は、すべての素数pについてp を法として研究されます (有限体を参照)。このプロセスはローカリゼーションと呼ばれ、 p進数の構築につながります。局所体の研究には、代数体の場合と同じ手法が使用されます。これは実際にはさらに単純であり、代数体の結果はローカル体の結果から演繹されることがよくあります。これがローカル-グローバルの原則です。
初級算数
ディオファントス方程式、つまり整数の係数を持ち、望ましい解が整数である方程式を解くことは、古代以来人類を魅了してきた問題です。したがって、ユークリッドの要素では、和が依然として完全平方である完全平方を構築する方法が説明されています。
このような方程式を解くために使用される性質と定理は、最初は比較的単純です。それらはすべて、多かれ少なかれ、整数の環であるZのユークリッド除算から直接導出されます。最初の結果は、ユークリッドの補題、ベズーの恒等式、およびすべての正の整数は素数の積に一意に分解されるという算術の基本定理です。
これらの定理により、 n が2 または 4 に等しい場合のフェルマーの最終定理、 フェルマーの小定理、またはウィルソンと呼ばれるものなど、一連の結果を実証することができます。さらに進むには、2 つの数値の乗算とユークリッド除算による積の余りとの関係をより正確に理解する必要があります。たとえば、フェルマーの 2 平方定理を解くには、 n 2 + 1 がpの倍数である自然数n が存在するように素数pのリストを決定する必要があります。フェルマーの小定理は、このような性質の情報を提供する結果であり、2 つの平方の問題を初歩的に解くか、整数の素数性を研究する (つまり、数値が素数かどうかを知るために使用されます。フェルマー数の研究の例。
