リング商について詳しく解説

導入

数学では、商リングは、イデアルの 1 つによって与えられるリングの商の集合です。

意味

A を環、 I をAの両面の理想とします。次の等価関係Rを定義します。

$$ {\forall (x,y)\in A^2, xRy \Leftrightarrow (x-y)\in I} $$

したがって、 Aの 2 つの要素は、それらの差が理想的なIに属する場合、つまりxとy がI を法として合同である場合に関連付けられます。

商集合A _{/ R}は、 Iによって引き起こされる演算によって提供され、 A / Iとなります。

( x + I ) + ( y + I ) = x + y + Iおよび

$$ {(x+I)\times (y+I) = (x\cdot y)+I} $$

は環であり、 AのIによる商環と呼ばれます。

プロパティ

アプリ

$$ {p:A\to A/I} $$

p ( x ) = x + Iで定義されるは、カーネルがイデアルIである全射環準同型写像です。

A を可換環とする：

A / Iが整数環である場合に限り、 I は素数になります。
A / I が身体である場合に限り、 I は最大になります

まず、 A / Iが誠実であるかどうかを確認します。

直接的な証拠:

Iが素数の場合、 A / Iが整数であることを示しましょう。 A / Iのゼロ積x y = 0を考えてみましょう。これはつまり、

$$ {xy \in I} $$

。しかし、I は素数なので、x または y は I に属し、 A / Iではx = 0またはy = 0 となります。結論：私には誠実さがあります。

逆に、 A / Iが整数の場合、I が素数であることを示しましょう。積を考えます。

$$ {xy \in I} $$

。すると、 A / Iではx y = 0 となります。 A / Iは整数なので、 A / Iでは x=0 または y=0 になります。

$$ {x \in I} $$

または

$$ {y\in I} $$

。結論：私はプライムです。

不条理な証拠:

A / Iが整数でない場合、 A / Iにはa b = 0となる非ゼロのaおよびbが存在します。 a ‘とb ‘ を相互イメージの 2 つの要素とします。その場合、 a ‘ はIにありません。そうでない場合、そのイメージはゼロになります。 b ‘についても同じです。一方、このイメージであるため、それらの積はIにあります。 product はゼロなので、 Iになく、その積が 2 つの要素があります。私は一番にはなれない。

逆に、 I が素数ではないと仮定すると、 Iには含まれないが積が素数となるa ‘とb ‘が存在します。製品のイメージはゼロではありますが、投影によるa ‘とb ‘のイメージはゼロではありません。したがって、 A / I は完全性ではないことがわかります。

A / Iが物体である場合の最大I。

直接的な証拠:

私が最大限であれば、すべてのために

$$ {x \in A \setminus I} $$

我々は持っています

$$ {1 \in xA+I} $$

、つまり存在します。

$$ {a \in A} $$

のような

$$ {1 = xa \mod I} $$

したがって、x は可逆です。したがって、 A / Iのゼロ以外の要素は反転可能です。

逆に、 A / Iが身体であれば、すべての人にとって

$$ {x \in A\setminus I} $$

、その場合、 x はA / Iでゼロではないため、可逆的であり、したがって存在します。

$$ {y \in A} $$

のような

$$ {xy = 1 \mod I} $$

、あるいは

$$ {1 \in xy + I} $$

。これはすべてのことに当てはまります

$$ {x \in A\setminus I} $$

、最大のIが得られます。

不条理な証拠:

I が最大ではないと仮定し、 J を厳密にIとA の間の理想とする。そうすれば、 A / Jに対するA / Iの非単射射 (全射ですが、それは重要ではありません) が得られます。しかし、物体から始まる環射は単射的であるため、 A / Iは物体ではありません。

逆に、 A / I は物体ではないとします。したがって、それは自明ではない理想を持ち、その相互イメージは厳密にはAとI の間のAの理想になります。そうなると、私は最大の理想にはなれません。

f がAからBへの環射である場合、次のように表されます。

$$ {I=\ker f} $$

その核心。次に、 f は単射射に因数分解されます。

$$ {\bar f : A/I \to B} $$

によって定義される

$$ {\bar f(x+I)=f(x)} $$

。

例

I = Aの場合、 A / Aは自明な環{0}です。
I = {0}の場合、 A / {0}はAと同型です。
もし
$$ {A=\mathbb Z} $$
そして
$$ {I=n\mathbb Z, n\in \mathbb Z} $$
、商リングZ/nZに注目します。この構造はモジュラー演算の基礎です。

用途

代数的整数論

商環は数学の多くの分野で使用されます。代数的整数論では、ディオファントス方程式を解くなどの例が一般的です。つまり、整数の集合Zに係数がある方程式で、求められる解は整数です。

ベズー恒等式は、次数1のディオファントス方程式として見ることができます。つまり、次数1の多項式に対応します。次の形式をとることができます。

$$ { a\cdot x + b\cdot y = 1\quad\text{avec}\quad a,b \in \mathbb Z} $$

解は、商リングZ / bZのaの逆関数として見ることができます。したがって、 a が商環の単位のグループの要素、つまり環の可逆要素のグループの要素である場合にのみ、解が存在します。現在、 a はbと素数である場合にのみ可逆です。 xの可能な値は、 aのクラスの逆元の要素です。

2 次のディオファントス多項式も商環構造を使用します。例は、ペルフェルマー方程式の特殊なケースです。

$$ { x^2 – n\cdot y^2 = \pm 1\;} $$

ここで、 n は二乗係数を含まない整数を示します。チャクラヴァラ法は、解決策を決定するための単純なアルゴリズムに相当します。その収束を示すために、 a + b.√ n の形式の数値の輪を使用します。ここで、 aとb は整数を示します。すべての商リングが有限基数であることを示すことは、証明における重要なステップです。

この方程式は次のようになります。

$$ { x^2 + n\cdot y^2 = p \;} $$

ここで、 n は常に二乗因数のない整数であり、 p は素数を示します。二次整数の適切な環A 、つまりa + bi.√ nの形式の数値を使用することにより、 i は純粋な想像力を示し、 A / Jの形式の商の環 ( Jは最大イデアル) を研究することで、次のことが可能になります。方程式を解くために。例については、「二次整数」の記事を参照してください。

ガロア理論

ガロア理論では商環も多用されます。 K を可換体、 K [ X ] をKの係数を持つ多項式の環とします。この理論の多くの目的の 1 つは、多項式方程式P ( X ) = 0 の研究です。 Pが既約多項式の場合、 Kの代数拡張Lで解を探します。広く使用されている特別なケースは、 P ( X ) によって生成された理想値で商された多項式の環K [ X ]/ (P)です。 P ( X ) は既約であるため、 P ( X ) によって生成されるイデアルは最大であり、商の環は確かに体です。

この技術により、すべての完成ボディを構築することが可能になります。 L を有限体とすると、 Lのカーディナリティがp ⁿに等しいような素数pと正の整数n が常に存在します。 p値はKの特性に対応します。 P ( _{_P} ( X )の場合。

導入

意味

プロパティ

例

用途

代数的整数論

ガロア理論

参考資料

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