導入
数学、特に代数学では、体K上の代数拡張Lは、すべての要素がK上で代数的である、つまり、係数がKである非ゼロ多項式の根である体の拡張です。それ以外の場合、拡張子は超越と呼ばれます。
このアプローチにより、最初は特定のフィールドの不足、たとえば多項方程式の解に関する実数の不足を補うことが可能になります。最後に、体の構造をよりよく理解するために適合した構造を提供します。代数拡張は、たとえば、立方体の複製やアーベルの定理で説明される根号による多項式方程式の解決などの古代の問題の解決を可能にする解析のサポートです。
動機
代数拡張の概念の最初の形式化は、エルンスト クンマーによるフェルマーの最終定理を証明する試みから生まれました。 1846 年の論文はイデアル数の概念を定義し、これが 1871 年のリチャード・デデキントによるイデアルの概念の定義につながります。クンマーは、今日私たちが「クンメリアン拡張」と呼んでいる、単一根によって生成される代数拡張の特性を分析しました。決定的な形式化は 1857 年に発表されました。このツールを使用すると、たとえば、特定のクラスの素数、つまり 37、59、67 を除く 100 未満のすべての素数を含む通常の素数に対するフェルマーの定理を証明することができます。 (もちろん2)。
このアプローチは、群、環、物体、ベクトル空間などの抽象的な代数構造を定義することで構成されます。これは、最初の抽象構造であるグループの定義が定義されたエヴァリスト ガロアの研究から始まる運動の一部です。これらの研究は現代代数学の起源となります。クンマーの研究はガロアの研究を補完するものとして意味があり、特に重要な代数拡張はガロア拡張です。これらの構造の一般的な特性により、幾何学、算術、代数における長年未解決の問題を解決することが可能になります。
幾何学では、古代の 4 つの大きな問題のうち 3 つがこのアプローチを使用して解決されます。それらはすべて、定規とコンパスを使用した構築から来ています。そこでは、角度の三等分、立方体の複製、正多角形の構築可能性がわかります。これら 3 つの特性の現代の証明には、抽象代数と代数拡張の概念が使用されます。 19世紀の終わりには、すべての幾何学は抽象的な代数構造に基づいていました。
算術においては、フェルマーの最終定理を証明する試みが最も進歩の根源となります。代数拡張の概念の形式化は、n (フェルマー方程式のパラメータ) の多くの値にとって不可欠になります。この構造により、さまざまな抽象構造を組み合わせて定理を確立することが可能になります。代数拡張はベクトル空間であり、体でもあり、ユークリッド環構造のおかげで定義され、群は自然にこの体上で作用します。代数的拡張は、代数的整数論の基本構造になります。
代数学では、代数拡張は、根号を使用して多項方程式を解くという古い問題を解くための基本構造です。主要な構造が有限群の構造である場合、最初は順列のサブグループとして強調表示されますが、現代の形式化ではより単純かつ自然に見えます。この場合、群は代数拡張上で動作する有限群になります。
