フェルマーの最終定理 – 定義

導入

クロード＝ガスパール・バシェ・ド・メジリアックによってギリシャ語からラテン語に翻訳されたディオファンテの作品。この本のこの版は 1621 年に出版されました。85 ページにはディオファンテの問題 II.VIII が含まれており、ピエール ド フェルマーが余白が小さすぎてデモを収めることができないと書いたページです。

アンドリュー・ワイルズ

数学におけるフェルマーの最終定理、またはフェルマー・ワイルズの定理は、次のように述べられる数論の定理です。

nの値が 2 以下の場合、解は無限にあります。 n = 1 の場合は明らかです。 n = 2の場合、特に古典的な解 3 ² + 4 ² = 5 ²が認められます。一般に、 n = 2のすべての解は、x=2kml、y=k(m ² -l ² )、z=k(m ² +l ² ) で与えられます。ここで、数値 k、l、m は条件を満たします。 : 整数 k、m>l、m と l の異なるパリティ。これらの整数は、ピタゴラス トリプルと呼ばれることもあります。ただし、 n が2 より大きくなると、これは不可能になります。

この定理の名前は、ディオファントスの『 Arithmetica』の翻訳の欄外に、この問題の記述に続いて次のように書いたピエール・ド・フェルマーに由来しています。

「…私はこの命題の素晴らしい実証を見つけましたが、それを収めるには余白が狭すぎます。 »

この定理は、350 年近くにわたって熱狂的な研究の対象となり、部分的な成果しか得られなかった後、1994 年に数学者のアンドリュー ワイルズによって、数論の非常に強力なツールを使用して最終的に実証されました。ワイルズは志村理論の特別なケースであることを証明しました。谷山-ヴェイユ予想は、イヴ・ヘルグアルク、ゲルハルト・フライ、ジャン-ピエール・セール、ケン・リベットの研究により、この定理に関係することが以前から知られていました。このデモでは、モジュラー形式、ガロア表現、ガロア コホモロジー、保型表現、トレース公式などを使用します。

今日、ほとんどの数学者は、フェルマーが自分の予想を証明したと信じたのはおそらく間違いだったと信じています。しかし、彼が当時の数学のみを使用して方法を発見したと考えることを妨げるものは何もありません。確かに、この種の方法が存在するという希望はほとんどありません。しかし、いつか発見できるのではないかと期待し続ける人もいます。

実証方法

アンドリュー・ワイルズの証明はこれまでの多くの研究に基づいており、次のように要約できます。

1. フェルマー方程式の解を特定の楕円曲線に関連付けます (Frey、Helleguearch からアイデアを採用)、
2. Frey-Hellegouarch曲線はモジュラー関数でパラメータ化できないことを実証します (Ribet、セール予想を実証)。
3. 任意の楕円曲線、またはフレイ・ヘルグアルクの楕円曲線を含むのに十分な大きさのクラスがモジュラー関数によってパラメーター化されていることを示します。これは志村・谷山・ヴェイユ予想であり、数論において非常に重要です。

結果として生じる矛盾は、フェルマーの方程式が解を持たないことを示しています。

楕円曲線

楕円曲線は、次の形式の方程式曲線です。

y ² + a x y + b y = x ³ + c x ² + d x + e

係数 a、b、c、d、および e は、曲線が定義されるボディの要素です。このような曲線が実際に楕円曲線であるためには、このように定義された曲線が特異であってはなりません。つまり、尖点も二重点も持たない必要があります。この最後の条件は、判別式に似た係数上の特定の多項式がキャンセルされないという事実によって表されます。

実数体の例を取ると、実数体上で定義された楕円曲線の方程式は、より単純な形式 (ワイエルシュトラス方程式と呼ばれます) にまとめることができます。

y ² = x ³ + a x + b 。

この曲線の判別式はδ = − 16(4 a ³ + 27 b ² )です。ゼロ以外の場合、曲線は特異ではないため、真の楕円曲線になります。

フレイ・エルグアルク曲線

1984 年に、ゲルハルト フライは、イヴ ヘルグアルクの古いアイデアを取り上げ、 n > 2のフェルマー方程式の解により、奇妙な特性を持つ半安定楕円曲線を定義できることを実証しました。これらは方程式曲線です。

y ² = x ( x + A ⁿ )( x − B ⁿ ) 、

ここで、 A ⁿ + B ⁿ = C ^{n は}フェルマーの定理の反例です。

結論として、このように定義された楕円曲線には、存在するには奇妙すぎる特性があることを示すだけで十分です。

数学の他の状況と同様に、フェルマーの問題を明らかにはるかに難しいフレームワークに統合するという事実は、依然として進歩を意味します。なぜなら、このフレームワーク用に開発されたツールがすべて揃っているからです。

ケネス・リベット氏のデモンストレーション

1986 年、ほぼ 2 年間の努力の後、アメリカ人のKenneth Ribet は、Jean-Pierre Serreのイプシロン予想の大部分を実証することに成功しました。その結果の 1 つは、Frey-Hellegouarch 曲線がモジュラー関数でパラメータ化できないということです。

残っているのは、「どんな楕円曲線もモジュラー関数でパラメータ化できる」という志村・谷山・ヴェイユ予想を実証することだけだった。

志村・谷山・ヴェイユ予想

志村・谷山・ヴェイユ予想は、楕円曲線が特別ないわゆるモジュラー関数（三角関数の一般化）と常に関連付けられる（またはパラメータ化または導出される）ことができることを指定します。

この予想を実証するために、アンドリュー ワイルズは次の数学的概念を使用しました。

• L 関数。
• モジュール形式。
• 絶対ガロア群。

半安定楕円曲線の完全な証明は、1995 年にAnnals of Mathematicsに掲載されました。