導入
| キューブ | |
|---|---|
 | |
| 親切 | 正多面体 |
| 顔 | 四角 |
| 要素: · 顔 ・エッジ · サミット ・特徴 | 6 12 8 2 |
| 頂点ごとの面 | 3 |
| 面ごとの頂点数 | 4 |
| アイソメトリー | おお |
| デュアル | 八面体 |
| プロパティ | 正および凸デルタ面体、 ゾノヘドロン |
ユークリッド幾何学では、立方体はすべての面が正方形の角柱です。立方体は宇宙で最も注目に値する固体の 1 つです。これは 5 つのプラトン立体のうちの 1 つで、正確に 6 つの面、12 のエッジ、および 8 つの頂点を持つ唯一の立体です。別名「正六面体」。
立方体という用語の語源はギリシャ語です。立方体はサイコロであるクボスに由来します。
数値に適用される「立方体」という用語は、この数値をそれ自体で乗算し、その結果に最初の数値を再度乗算することによって得られる値を示します。この表現は、幾何代数が遍在していた時代に現れました。数の2 乗は、最初の数の側にある正方形の表面として、数の 3 乗は、最初の数を離れた立方体の体積として見られました。 「 a 3 」という表現は、「a cubed」または「a cube」と読み取れます。
立方体のすべての頂点がエッジで接続された骨格は、六面体グラフと呼ばれるグラフを形成します。
ジオメトリ
立方体は 5 つのプラトン立体の 1 つです。立方体は直角柱のグループに属します。 8 つの頂点と 12 のエッジがあります。さらに ：
しかし、定義により、そのエッジはすべて同じ長さです。たとえば、です。したがって、その面は正方形であり、同じ表面積、 a²に等しいです。実際には：
- したがって、その面積は 6 × a²です。
- そのボリュームは 3個の価値があります。
- 対角線の長さは$$ {a\sqrt{3}} $$;
- したがって、外接球には半径があります。 $$ {\frac a2 \sqrt{3}} $$;
- エッジに接する球には半径があります$$ {\frac a2\sqrt{2}} $$;
- 内接球には半径があります$$ {\frac a2} $$;
- 対角線と隣接する各平面との間の角度は価値があります。 $$ {\arctan\left(\frac 1\sqrt{2}\right) \simeq 35.26^\circ} $$。
代数学で立方体という言葉が使用されるようになったのは、その体積の表現です。
アイソメトリグループ
立方体は、最も対称性が高い多面体の 1 つです。
- 次数 4 の 3 つの回転軸: 2 つの向かい合う面の中心を通過する軸。
- 次数 2 の 6 つの回転軸: 2 つの対向するエッジの中央を通過する軸。
- 次数 3 の 4 つの回転軸: 2 つの対向する頂点を通過する軸。
- 中心対称性 O;
- 9 つの対称面: エッジを仲介する 3 つの平面、2 つの対向するエッジを通過する 6 つの平面。
立方体のアイソメトリは、頂点のイメージと、この頂点からの 3 つのエッジ (空間参照) によって完全に定義されます。この頂点は、立方体の 8 つの頂点のいずれかをイメージとして持つことができます。最初のエッジには 3 つの可能なイメージがあり、 2 番目のエッジには 2 つのイメージのみが含まれ、最後のエッジのイメージが決定されます。これは、立方体をグローバルに不変のままにするアイソメトリが 8 × 3 × 2 = 48 であることを証明します。これらのアイソメトリは、24 個のポジティブ アイソメトリと 24 個のネガティブ アイソメトリに分割されます。ポジティブアイソメトリはすべて不変として点 O を持ちます。つまり、23 回の回転と恒等が存在します。
次に、前の回転軸を見つけます。
- 3 つの回転軸により、非ゼロ角度の 3 回転、つまり 9 回転が生成されます。
- 6 つの回転軸が 1 つの平面角度回転、または 6 つの回転を生成します。
- 4 つの回転軸により、非ゼロ角度の 2 回転、つまり 8 回転が生成されます。
中心 O の対称性で構成される 9 つの平面角回転によって生成される平面に対する 9 つの対称性も同様です。
これは在庫が本当に網羅的であったことを証明しています。
このグループは、空間をタイル化できる正多面体の中で最大のものです。関連する解析については、ネットワークに関する記事 (ジオメトリ) を参照してください。
