デルタ面体について詳しく解説

導入

六角形を三角形に置き換えた切頂四面体は、厳密には凸ではないため、凸三角面ではありません。

デルタ面体は、すべての面が正三角形である多面体です。名前は、正三角形のような形をしたギリシャ語の大文字デルタ (Δ) に由来しています。デルタ面体は無限にありますが、そのうち 8 つだけが凸面であり、4、6、8、10、12、14、16、20 の面を持っています。 8 つの凸状デルタ面体のそれぞれについて、面、エッジ、および頂点の数を以下に示します。

デルタ面体を、面が凧である多面体であるデルトヘドロン(「o」で綴られる) と混同しないでください。

8 つの凸デルタ面体

名前	写真	顔	エッジ	サミット	頂点の構成
正四面体		4	6	4	4×33
三角ダイヤモンド		6	9	5	2×33 3×3 4
正八面体		8	12	6	6×3 4
五角形のダイヤモンド		10	15	7	5×3 4 2×3 5
軟化した蝶形骨		12	18	8	4×3 4 4×3 5
三角柱プリズム		14	21	9	3×3 4 6×3 5
ジャイロ伸長正方形ダイヤモンド		16	24	10	2×3 4 8×3 5
正二十面体		20	30	12	12×3 5

プラトン立体 (各頂点で交わる面の数が一定である多面体) であるデルタ面体は 3 つだけです。

• 3 つの面が各頂点で交わる 4 面の三角面体 (または四面体)
• 4 つの面が各頂点で交わる 8 面のデルタ面体 (または 8 面体)
• 20 面のデルタ面体 (または 20 面体)、各頂点で 5 つの面が交わる

6 面のデルタ面体では、一部の頂点は次数3 であり、一部の頂点は次数 4 です。10、12、14、および 16 面のデルタ面体では、一部の頂点は次数 4 であり、一部の頂点は次数 5 です。 5 つの不規則なデルタ面体は、ジョンソンの立体のクラス、つまり面が正多角形である凸多面体の一部です。

デルタ面体は、エッジが頂点の周りを自由に回転しても、つまりエッジ間の角度が流動的であっても、その形状を維持します。すべての多面体がこの特性を持っているわけではありません。たとえば、立方体の特定の角度を緩めると、立方体が非直線の四角柱に変形する可能性があります。

非凸形状

非凸形状は無数にあります。

非凸デルタ面体の例をいくつか示します。

• 大きな正二十面体 – ケプラー ポインソ固体。

他のものは、次の 5 つの正多面体の面に正三角形を追加することによって生成できます。

1. 正三三四面体
2. 正四六面体
3. 正三八面体（星形八面体）
4. 正五十二面体
5. 正三アキ二十面体

さらに、面に逆ピラミッドを追加すると、次のようになります。

• 正二十面体の3 番目のウェニンガー星形