導入
幾何学において、ステレーションとは、(2 次元の) 新しい多角形、3 次元の新しい多面体、または一般にn次元の新しい多面体を構築するプロセスです。このプロセスには、エッジや平面などの要素を、通常は対称的に、それぞれが再度接触するまで延長することが含まれます。新しいフィギュアはオリジナルの星形です。
ケプラーの定義
1619 年、ケプラーは、多角形と多面体のステレーションを、エッジまたは面が接触して新しい多角形または多面体を形成するまで延長するプロセスとして定義しました。したがって、彼は十二面体に星を付けて、正星多面体の 2 つ (4 つのケプラー ポインソ立体のうちの 2 つ) を取得しました。
星型多面体
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多面体の星状化は星型多面体につながります。多面体の平面は、空間を多くの個別のセルに分割します。対称多面体の場合、これらのセルは等角セルのグループまたはセットを形成します。このような等角セット内のセルは同じタイプであると言います。ステレーションを見つける一般的な方法には、1 つ以上のセル タイプを選択することが含まれます。
これにより、考えられる形状が膨大な数になる可能性があるため、これらの星状のセットを何らかの意味でユニークなものに絞り込むために、より広範な基準が課されることがよくあります。
核の周りに閉じた層を形成する多数の細胞は殻と呼ばれます。対称多面体の場合、シェルは 1 つ以上のセル タイプで構成できます。
このような考えに基づいて、いくつかの興味深い制限的なカテゴリが特定されました。
- メイン右スタート（メインライン）。多面体のコアに連続したシェルを追加することにより、主な右ステレーションのセットが得られます。
- ステレーションを完全にサポートします。セルの底面は、外部からは「張り出し」として見える場合があります。完全にサポートされたステレーションでは、そのようなオーバーハングは存在せず、面のすべての可視部分が同じ側から見られます。
- 単アクラルの星状。文字通り「一点」。星状に 1 種類の先端または頂点のみがある (つまり、すべての頂点が 1 つの対称軌道に準拠している) 場合、星状は単頂点です。このようなすべてのステレーションは完全にサポートされています。
- 一次星状多面体に鏡面対称の平面がある場合、これらの平面内にあるエッジは一次線上に配置されていると言われます。すべてのエッジがプライマリ ラインに配置されている場合、ステレーションはプライマリになります。すべてのプライマリ ステレーションが完全にサポートされています。
- Miller’s Stelations In The Fifty-Nine Icosahedra Coxeter、Du Val、Flather、Petrie には、 Millerが提案した 5 つのルールが記録されています。これらのルールは特に20 面体のジオメトリを参照していますが、任意の多面体を扱うように簡単に適用できます。これらは、特に、元の多面体の回転対称性が維持され、各星状の外観が異なることを保証します。今定義した 4 種類のステレーションはすべて、ミラー ステレーションのサブセットです。
他のカテゴリも識別できます。
- 部分的なステレーション。指定された次元のすべての要素を拡張しません。
- すべての要素を対称的に拡張しない部分対称ステレーション。
アルキメデスの立体とその双対も星形にすることができます。ここで、一般に次のルールを追加します。すべての元の面の平面特性がステレーション内に存在しなければなりません。つまり、部分的なステレーションを考慮してはならないということです。たとえば、立方体は立方八面体の星状とはみなされません。がある：
- 菱形十二面体の 4 つの星
- 三アキ四面体の 187 の星座
- 358,833,097 個の菱形三角形正面体の星
- 立方八面体の 17 個の星配置 (ウェニンガーの「多面体モデル」には 4 個が示されています)
- 二十面体の未知の星ですが、上記よりもはるかに多くのものです。 (ウェニンガー多面体パターンのリストには 19 個が表示されています)
非凸均一多面体のうち 17 個はアルキメデス立体の星状です。
ミラーの法則
ミラーの法則を使用すると、次のことがわかります。
- すべての面が隣接しているため、四面体の星状配置は存在しません。
- 隣接しない面は平行であるため、新しいエッジで交わるように拡張できないため、立方体の星状配置はありません。
- 八面体、星の八角形の星が 1 つあること
- 十二面体には 3 つの星形がある: 小さな星型十二面体、大きな十二面体、大きな星型十二面体、これらはすべてケプラー ポインソ立体です。
- 正二十面体には、大きな二十面体 (ケプラー・ポアンソ立体の 1 つ)、二十面体の2 番目の恒星、および最後の恒星を含む 58 個の恒星があること。 「59 正二十面体」の59 番目のモデルは、元の正二十面体そのものです。
多くの「ミラー星状」は、ケプラー法を使用して直接取得することはできません。たとえば、多くの場合、中心が空洞になっており、コア多面体の元の面とエッジが完全に欠落しており、星を付けることができるものは何も残されていません。この異常は、Inchbald (2002) まで注目を集めませんでした。
ステレーションに関するその他のルール
ミラーの規則は、星を列挙するための「正しい」方法では決してありません。これらは、ステレーションダイアグラム内のパーツを特定の方法で組み合わせることに基づいており、結果として得られる面のトポロジは考慮されていません。そのため、そのリストに含まれていない、かなり合理的な正二十面体星座がいくつかあります。そのうちの 1 つは 1974 年にジェームス・ブリッジによって特定されましたが、一部の「ミラー星座」は、つまりそれらが次のようにみなされるべきかどうかについて批判にさらされています。ステレーション – 正二十面体セットの 1 つには、空間内に対称的に浮遊する完全に切り離されたいくつかのセルが含まれています。
現在まで、これを考慮した代替ルールは完全に開発されていません。達成された進歩のほとんどは、ステレーションがファセットの相互プロセスであるという概念に基づいており、これにより新しい頂点を作成せずに多面体からパーツを削除できます。特定の多面体の各星状には、二重多面体の二重ファセットが存在し、その逆も同様です。二重の側面を研究することにより、元の星の配置についての洞察が得られます。ブリッジは、その二重である十二面体のファセッティングを研究することによって、二十面体の新しい星形を発見しました。
一部の多面体学者は、ステレーションは双方向のプロセスであり、同じ平面を共有する 2 つの多面体は互いにステレーションであるという見解をとります。これは、コンピュータ プログラムでの使用に適した一般的なアルゴリズムを設計している場合には理解できますが、それ以外の場合は特に役に立ちません。
ステレーションの多くの例は、Wenninger のステレーション モデルのリストにあります。