導入
ウィクショナリーの「三角形」を参照してください。 |
ユークリッド幾何学では、三角形は3 つの点とそれらを接続する 3 つの線分によって形成される平面図形です。 「三角形」という名前は、この図に 3 つの角が存在し、それらの間のセグメントによって形成されることから正当化されます。 3 つの点は三角形の頂点、3 つの線分はその辺、3 つの角はangleです。
三角形は、点、線、円と同様、基本的な幾何学的図形です。古代以来、さまざまな難易度の数学的性質、演習、定理が無尽蔵に保存されてきました。この記事で述べられている性質と定義のほとんどは、紀元前 300 年頃にすでにユークリッドの要素で述べられていました。
他の幾何学における三角形の研究については、「三角形 (非ユークリッド幾何学)」を参照してください。
書き方の規則
多角形の頂点など、幾何学的図形の興味深い点は、通常、「 A 、 B 、 C 、…」というようにラテン語の大文字で指定されます。三角形には、他の多角形と同様に、連続して名前が付けられます。頂点の名前 (例: ABC ) 。これらの頂点が端点であるすべてのセグメントは三角形の辺であるため、頂点が引用される順序は重要ではありません。
正確には、三角形の各辺には、すべてのセグメントと同様に、端によって名前が付けられます: この例では、 AB 、 BC 、およびAC です。辺の長さに名前を付けるには、通常、反対側の頂点の名前をラテン語の小文字に変換して使用します。 aはBC 、 bはAC 、 cはABです。
端点O を共有する 2 つのセグメントOPとOQ間の角度の一般的な表記は次のとおりです。
また、小文字 (ほとんどの場合はギリシャ語) に、サーカムフレックス アクセントを付けたものを使用することもできます (厳密には、数量は大文字で指定し、測定値は小文字で指定する必要がありますが、評価を軽くするために両方に同じ名前を使用することがよくあります) ）。三角形の場合、2 つの辺の間の角度は、許容範囲を考慮して、曖昧さがなければ、サーカムフレックスアクセントを付けた共通の頂点の名前によって指定できます。つまり、この例では角度に注目できます。
- $$ {\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \ et\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,} $$
ステートメントや計算で角度とその測定値を混同することを許容する場合、正しい表記は次のようになります。
- $$ {( \widehat{ABC} ) = 40 } $$°。
この記事ではこれらの表記を使用します。
三角形の類型学
三角形の 3 つの頂点が揃っているとき、それを平坦な三角形と呼びます。これは、三角形の 1 つの角が平らである (つまり 180° と測定される)、または三角形の 2 つの角がゼロである (それらの測定値は 0°) と言うのと同じです。
2 つの直角 (90°) とゼロ角 (0°) を許容する三角形は、針三角形 (平らな三角形の特殊なケース) と呼ばれます。直角が正しく定義されていないため、これは特殊なケースです。
これらすべての場合において、縮退三角形について話します。この記事の残りの部分では、三角形は縮退していないと仮定します。縮退した三角形の場合、三角形の通常の性質の多くは偽または自明です。
角度の種類による分類
三角形の角度の合計は 180°であるため、三角形は 2 つの直角 (90°) または鈍角 (90° を超える) を持つことはできません。したがって、少なくとも 2 つの鋭角を持ちます。 3 番目の角度が次の場合:
- そうですね、直角三角形について話します。
- 鈍角とは、鈍角または鈍角三角形 (または鈍角三角形) のことを指します。
- 鋭角とは、鋭角三角形またはオキシゴン(または鋭角三角形) のことです。
鈍角三角形または曖昧な三角形 | 直角三角形 | 直角三角形またはオキシゴン |
対称性による分類
三角形は、いくつかの種類の対称性に従って分類できます。
実際、これらの分類はすべて同等です。
二等辺三角形
次の 3 つの命題は同等です。
- 三角形には同じ長さの 2 つの辺があります。
- 三角形には等しい大きさの 2 つの角度があります。
- 三角形には対称軸があります。
この場合、三角形は二等辺三角形であると言われます。 ( isoangleとも言えます)。二等辺三角形は、ギリシャ語の iso = 同じ、scele = 脚に由来します。
三角形ABC がAC = AB (両端の辺Aが等しい) であるとき、その三角形は頂点 A を持つ二等辺であり、 A が三角形の主頂点であると言います。 Aの反対側の辺 [ BC ] は、三角形の底辺と呼ばれます。
三角形がAで二等辺である場合、 Aからの高さは、辺 [ BC ] の二等分線と中央値、およびAでの角度の二等分線でもあります。
二等辺三角形は、角の 1 つの二等分線で 2 つに「切断」すると、2 つの二等辺三角形を形成します。二等辺三角形には、黄金の三角形と直角二等辺三角形の 2 つのケースしかありません。
二等辺三角形は、平行四辺形とその対角線で形成される図形、つまり、長方形、ひし形、または辺の 1 つが対角線の 1 つの半分の長さと同じである平行四辺形でも見られます。
正三角形または正三角形
次の 3 つの命題は同等です。
- 三角形には同じ長さの 3 つの辺があります。
- 三角形には等しい大きさの 3 つの角度があります。
- 三角形には 3 つの対称軸があります。
この場合、三角形は正三角形、正三角形、またはイソプレウルスと言われます。
正三角形の3つの角は60°です。
正三角形を決定するには、次のことができます。
- 三角形には 60°の角度が 2 つあることを示します。
- または 2 つの対称軸があることを示します。
さらに、同じ辺に関係するすべての注目線（中央線、高さ、二等分線、二等分線）が結合されます。
正三角形の高さと辺の比率は次のようになります。
正三角形は、特定の周囲長に対して最大の面積を持つ三角形です。したがって、面積が最大で周囲長が 3 に等しい三角形は、辺 1 の正三角形です。このプロパティは、記事「等周測定」で分析されています。
不等辺三角形または不規則な三角形
不等辺三角形 (ギリシャ語のskalenosから: 足の不自由な、不均一な、不均衡な、斜めの…) は、次のような三角形です。
- 3 つの辺の長さは異なります。
- 3 つの角度は異なる測定値です。
- または対称軸を持たないもの。
上記の 3 つの定義は同等です。もちろん、このような三角形は二等辺三角形でも正三角形でもありませんが、直角にすることはできます。
直角三角形
三角形が直角（90°）を持つ場合、それは直角三角形と呼ばれます。
直角三角形の多くの性質の中で、有名なピタゴラスの定理を引用しましょう。他の2つの側面。 »
3-4-5 の三角形は、辺の長さが数列を形成する直角三角形です。
この直角三角形の特殊なケースは古代から知られていました。地面に直角を描くのに使われていた十三の結び目のロープを使うと簡単に作れます。このため、「測量士の三角形」とも呼ばれます。
30-60-90三角形は、角度が 30°、60°、90° である直角三角形です。つまり、それらは数列を形成します。
この三角形は「男子生徒の三角形」とも呼ばれます。学校の広場は時々この形をしています。 「半正三角形」とも言います。この姓は、正三角形をその頂点の 1 つを反対側の中央に接続する軸に沿って切断すると、30-60-90 の等しい三角形が 2 つ得られることに注目することで正当化されます。
三角形は直角三角形と二等辺三角形の両方になります。この場合、それは同じピークにあります。その 2 つの鋭角は 45° (または π/4 ラジアン) です。
正方形を対角線で2等分した三角形であるため、「半正方形」と呼ばれています。