導入
ケプラー・ポアンソ固体は正多面体です。それぞれは合同な正凸多角形または星形多角形の面を持ち、各頂点で交わる同じ数の面を持ちます (プラトン立体と比較してください)。
ケプラー ポインソ固体は4 つあります。
- 小さな星の十二面体
- 大星十二面体
- 大十二面体
- 大二十面体。
ジオメトリ
| 名前 | 写真 | のシンボル シュレーフリ {p,q} | 顔 {p} | エッジ | サミット {q} イチジク。 | χ | 対称 | デュアル |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 小さな星型十二面体 |  | {5/2.5} | 12 {5/2}  | 30 | 12 {5}  | -6 | 私は | 大きな十二面体 |
| 大きな星型十二面体 |  | {5/2.3} | 12 {5/2}  | 30 | 20 {3}  | 2 | 私は | 大きな正二十面体 |
| 大きな十二面体 |  | {5.5/2} | 12 {5}  | 30 | 12 {5/2} | -6 | 私は | 小さな星型十二面体 |
| 大きな正二十面体 | {3.5/2} | 20 {3} | 30 | 12 {5/2} | 2 | 私は | 大きな星型十二面体 |
大小の星型十二面体は、凸でない正五角形のような面を持っています。大十二面体と大二十面体は、面は凸五角形ですが、頂点の図形は五角形になります。最初のペアと 2 番目のペアは、お互いの双対です。
これらの図には面や頂点の図形として五芒星が含まれているため、誤解を招く可能性があります。面と頂点が交差する箇所で誤って仮定される場合がありますが、それらはカウントされません。
交点が新しいエッジおよび頂点としてカウントされる場合、それらは規則的ではありませんが、それでもステレーション内で考慮することができます。 (ウェニンガー多面体モデルのリストも参照)
オイラーの特性
ケプラー ポアンソ固体は、その外接球を複数回覆います。このため、プラトン立体、特にオイラー特性のように、必ずしも位相的に球と等価であるわけではありません。
- S – A + F = 2
常に有効であるとは限りません。
オイラー特性 χ の値は、多面体の形状に依存します。たとえば、小さな星型十二面体 [2] を考えてみましょう。それは、12 面のそれぞれに五角錐を備えた十二面体で構成されています。 12 の面はそれぞれ五角形であり、五角形の部分が立体の中に隠れています。各面の外側の部分は、5 つの点でのみ接触する 5 つの三角形で構成されています。あるいは、これらの三角形を個別の面として数えることもできます。それらは 60 個あります (ただし、それらは正多角形ではなく、単なる二等辺三角形です)。同様に、各エッジは 3 つのエッジに分割されます (ただし、それらは 2 種類になります)。先ほど述べた「5 つの点」を合わせて20 個の追加の頂点が形成されるため、合計32 個の頂点が存在します (これも同様です)。隠れた内部の五角形は多面体の表面を形成する必要がないため、消えてもかまいません。ここで、オイラーの関係式は有効です: 60 – 90 + 32 = 2。ただし、この多面体はシュレーフリ記号{5/2,5} で記述される多面体ではないため、たとえまだケプラー ポインソの立体であることはできません。外から見ると似ています。