球について詳しく解説

導入

数学、より正確にはユークリッド幾何学では、球は、中心と呼ばれる点から同じ距離にあるすべての点で構成される面です。中心からのこの距離の値は、球の半径と呼ばれます。したがって、ボールとは異なり、半径未満の距離にある点は含まれません。地球の表面は完全な球体ではありませんが、その形状はそれに近いため (回転楕円体について話します)、そのため「地圏」という用語は、地球を覆う層 (特に岩石圏、水圏、大気圏、生物圏) を指します。 。

より一般的には、標準化されたベクトル空間、さらには計量空間においても、球は中心から同じ距離にある点の集合です。その形状は、通常の丸い形状とは大きく異なる場合があります。ユークリッド空間の球は、代数トポロジーの基本的なオブジェクトを構成します。

アフィン変換による球の変形により、楕円体が生成されます。ラグビーボールはそのような形を具体化したものです。

表現

デカルト幾何学では、中心( x ₀ 、 y ₀ 、 z ₀ )および半径rの球は、次のような点( x 、 y 、 z )のセットになります。

$$ {\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2} $$

。

座標系の原点を中心とし、半径rの球の点は、次のようにパラメータ化できます。

$$ { \left\{ \begin{matrix} x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\ z & = & r \sin\theta \end{matrix} \right. \qquad (\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi) } $$

見えます

緯度と同じように経度のような。 (三角関数と球面座標を参照してください。)

発達

球が展開不可能な曲面であることが証明できます。球体のボスは存在しません。それにもかかわらず、実際には、球に非常に忠実に近づく可展面を取得することが可能であり、これはすべての縫い付けられたバルーンに当てはまります。参照: フットボール ボール (切頂二十面体)、バレーボール ボール、およびファンシー ボール (ポールからポールへのスピンドル内)

内圧によって表面が歪み、アプローチが修正されることに注意してください。膨らませれば膨らませるほど、球体は完璧に近づきます。

数式

半径Rの球の表面は次のとおりです。

$$ {S=4 \pi R^{2} \,} $$

含まれるボリュームは次のとおりです。

$$ {V= \frac{4 \pi R^{3}}{3}} $$

そのコンパクトさは次のとおりです。

$$ {C= \frac{S}{V}= \frac {3}{R}} $$

半径R 、密度ρ 、質量M の完全均質球の、その中心を通る軸に対する慣性モーメントは次のとおりです。

$$ { I=\frac{2 M R^2}{5}=\frac{8 \pi \rho R^5}{15} } $$

半径R 、質量 M の空の均質球の、その中心を通る軸に対する慣性モーメントは次のとおりです。

$$ { I=\frac{2 M R^2}{3}=\frac{8 \pi \rho R^5}{9} } $$

半径球の面積要素

東緯経度座標で 。スピンドルの面積（極を結合して角度をなす 2 つの半円によって制限される部分）は次のように推定されます。 ラジアンで表されます) 。

これにより、球形キャップ(球セグメントとも呼ばれます)、つまり 2 つの平行な距離面によって制限された球の一部の面積を計算することも可能になります。

そのうちの 1 つは球に接している可能性があります。私たちは見つけます ：球に接する同じ高さの円柱（外接円柱）の面積と同じです。この注目すべき結果は、アルキメデスの『球と円筒について』の論文で実証されています。キケロによれば、アルキメデスはこの結果を記念して、球体とその外周を描いた円筒を自分の墓に刻むよう要求したであろうという。

特定の球に外接する円柱の体積は、球の体積の³ ⁄ ₂倍に相当します。

球は、特定の体積を囲む表面の中で最小の面積を持ち、特定の領域の表面の中で最大の体積を囲みます。これは、次元3 のユークリッド空間の等周測定の問題に対する答えです。このため、自然界では球体が現れます。たとえば、泡や水滴(重力がない場合) は、表面張力が面積を最小化しようとするため、球体になります。 。