ピラミッドについて詳しく解説

導入

ピラミッドのセット

顔	n 個の三角形、 1 n が消えた
エッジ	2n
サミット	n+1
対称グループ	Cnv
二重多面体	セルフデュアル
プロパティ	凸型

n辺を持つピラミッド(ギリシャのピラミッドに由来) は、 n 個の三角形の面 ( n ≥ 3) によって、 n辺の多角形の底辺を頂点と呼ばれる点に接続することによって形成される多面体です。言い換えれば、それは多角形の底面を持つ円錐形の立体です。

これを指定しない場合、底面は正方形とみなされます。三角錐の場合、各面がベースとして機能し、反対側の頂点が頂点として機能します。正四面体は、プラトン立体の 1 つであり、三角錐です。四角錐や五角錐もすべての面が規則的で構築できるため、ジョンソン立体になります。すべてのピラミッドは自己二重です。

ピラミッドは角柱体のサブクラスです。

名前の由来

「ピラミッド」という名前を導入したのはギリシャ人で、エジプトのピラミッドを「ピラミッド」または「ピラミッド」と呼ばれる似た形のペストリーの1つと比較しました。

表面積

正角錐、つまり面がすべて同一の二等辺三角形である角錐の表面積は、

$$ {A =A_b+ \frac{ps}{2}} $$

ここで、 A _bは底面の面積、 p は底面の周囲長、 s は面の二等分線に沿った斜面の高さ（つまり、底面の任意の端の中点から頂点までの長さ）です。。

音量

ピラミッドの体積は、

$$ {V = \frac{1}{3} Ah} $$

ここで、 Aは底面の面積、 hは底面から頂点までの高さです。これは、 h が底面を含む平面からの垂直距離として測定される場合、頂点の任意の位置に当てはまります。

これは、次の計算で証明できます。

底面に平行な平面断面の寸法が頂点から底面に向かって直線的に増加するという事実を利用します。次に、任意の高さの平面セクションが、係数でスケールされたベースになります。

$$ {\frac{h-y}{h}} $$

ここで、 h は底部から頂点までの高さです。任意の形状の面積は、スケールされた形状の2 乗で乗算されるため、高さでの平面断面の面積はyになります。

$$ {\frac{A}{h^2}(h-y)^2} $$

。

体積は積分で与えられます

$$ {\frac{A}{h^2} \int_0^h (h-y)^2 \, dy = \frac{-A}{3h^2} (h-y)^3 \bigg|_0^h = \frac{1}{3}Ah.} $$

(自明のことですが、底辺の半分に等しい高さの頂点を持つ四角錐の体積は、中心を通る 6 つのそのようなピラミッド (対向するペア) によって形成される立方体の 6 分の 1 と見なすことができます。すると、「底辺と高さを掛けたもの」となります。「立方体の体積の半分に相当するため、ピラミッドの体積の 3 倍となり、係数は 3 分の 1 になります)。

高次元への一般化

ピラミッドは、そのベースとして多角形を持ち、すべての頂点が 1 つの点に接続されている幾何学的オブジェクトです。言葉を乱用して、すべての面が正多角形である場合を正則であると言います。

一般化すると、4次元ハイパーピラミッドは、すべての頂点が 1 点に接続された多面体をベースとする多面体です。ペンタコーラスは最も単純な例です。

したがって、 n次元のハイパーピラミッドは、 n次元のポリトープであり、そのベースとしてn-1次元のポリトープがあり、その頂点のすべてが 1 つの点に接続されています。超ピラミッドは、中央中央線(重心を底面から頂部に結ぶ) に沿って頂点に向かって徐々に狭くなっていくため、その底面が取るすべての「状態」のセットと考えることができます。ベースのこれらすべての「状態」は、実際には、超ピラミッドとベースに平行な超平面との交点です。次元nのハイパーピラミッドのハイパーボリュームは、次の式で与えられます。

$$ {V_n = \frac{B_{n-1} \times h}{n}} $$

ここで、 B _{n − 1}はベースのハイパーボリューム、h は高さです。

**最初のハイパーピラミッド**
名前	ポイント	セグメント	三角形	ピラミッド	4-超ピラミッド	5-超ピラミッド
説明	点 (d=0) には何も (d=-1) が接続されていません	点 (d=0) は点 (d=0) に接続されます	セグメント (d=1) は点 (d=0) に接続されます。	多角形 (d=2) が点 (d=0) に接続されています。	多面体 (d=3) が点 (d=0) に接続されています。	ポリコーラ (d=4) は点 (d=0) に接続されています。
寸法	0	1	2	3	4	5
写真