平面幾何学では、2 本の線が直角に交差するとき、それらの線は垂直であると言われます。垂直という用語は、ラテン語の per-pendicularum (鉛直線) に由来しており、直線または平面に対する空間に対する垂直の概念の一般化を正当化します。直交性と直交性の概念は近いものではありますが、それぞれに独自の特性があるため、混同すべきではありません。垂直性は幾何学および三角法における重要な特性であり、直角三角形は 2 つの垂直な線分で構成され、三角法の基礎となる特定の特性を持ちます。
平面幾何学における直角度
平面ユークリッド幾何学では、2 本の非平行な線は常に交差します。それらが直角(つまり 4 つの直角)を形成して交差する場合、それらは垂直と呼ばれます。線分の方向が直交することを直交とも言いますが、一方で、2つの線分が交差することなく直交することもあります。セグメントが直角に交差する場合にのみ、それらは垂直であると言われます。
平面内では、指定された点を通過し、指定された直線に垂直な直線が 1 本だけ通過します。
平面では、垂直線と平行線の概念は次の特性によって関連付けられます。
- 2 本の線が垂直の場合、一方に平行な線はもう一方にも垂直になります。
- 2 本の線が平行な場合、一方に垂直な線はもう一方にも垂直になります。
- 2 本の線が同じ線に垂直であれば、それらは互いに平行です。
平面に正規直交参照系が提供され、直線が方程式y = a x + bおよびy = a ‘ x + b ‘で定義されている場合。線は、方向係数 aa’ の積が -1 に等しい場合にのみ垂直になります。
平面に正規直交座標系があり、線が方程式a x + b y + c = 0およびa ‘ x + b ‘ y + c ‘ = 0で定義されている場合、線は次の場合に限り垂直になります。 aa ‘ + bb ‘ = 0 。
T E X では、次のようなコード\perpの垂直性に注目します。
空間の垂直性
垂直線
空間内の 2 本の線が垂直になるのは、それらが直角に交差する場合に限ります。空間では、平行でない線は交差しない場合があります。一方の線が他方の線に垂直な線に平行である場合、2 本の線は直交していると言われます。それらが交差している場合にのみ、それらは垂直であると言われます。
空間上に直線が与えられ、その直線上にない点が与えられた場合、与えられた点を通り、与えられた直線に垂直な直線は1本だけ存在します。点が直線上にある場合、この点を通り、指定された直線に垂直な直線が無数に存在します。
宇宙では、平行と垂直の概念はもはやリンクされていません。
- 2 本の線が垂直である場合、一方に平行な線はもう一方に対してのみ直交します。交差する場合にのみ、もう一方に対して垂直になります。
- 2 本の線が平行な場合、一方に垂直な線はもう一方に対してのみ直交します。交差する場合にのみ、もう一方に対して垂直になります。
- 2 本の線は平行でなくても同じ線に直交することができます。たとえば、立方体の角のエッジを支える 3 本の線を取るだけで十分です。
平面に垂直な線
空間では、線が平面に平行でない場合、その線は常にこの平面と交差します。線が平面の 2 つの交差する線に垂直である場合、その線は平面に垂直であると言います。この線は、平面のすべての線と直交します。
空間では、特定の点を通過するのは、特定の平面に垂直な直線が 1 つだけ、および特定の直線に垂直な平面が 1 つだけです。
次に、垂直と平行に関するさらに興味深い関係を見つけます。
- 線が平面に対して垂直である場合、最初の面に平行な線もその面に対して垂直であり、最初の面に平行なあらゆる面もその線に対して垂直です
- 2 本の線が平行な場合、一方に垂直な平面はもう一方にも垂直になります。 2 つの平面が平行な場合、一方に垂直な線はもう一方にも垂直になります。
- 2 つの平面が同じ線に対して垂直であれば、それらは平行です。同様に、2 本の線が同じ平面に垂直であれば、それらは平行です。
ある点における表面に垂直な方向は、表面に垂直な方向、または直角と呼ばれることがよくあります。
垂直面
垂直面の概念は直感的ではありますが、実際には特性がまったくないため、非常に危険です。垂直面の概念を理解するには、垂直面 (下げ振り) の最初の定義と垂直面と水平面の概念に戻る必要があります。水平面とは、鉛直線の方向に対して垂直な平面です。垂直面は、鉛直線の方向を含む面です。したがって、垂直面は水平面に対して垂直であると言われます。
この最初の概念から、次の定義が生じます。2 番目の平面に垂直な線が含まれている場合、その平面は別の平面に垂直です。この関係が対称であることを示します。
次元3 には直交する平面という概念がありません。最初の平面のいずれかの方向が 2 番目の平面のいずれかの方向に直交する場合、2 つの平面は直交しますが、これは実質的に不可能です。
垂直面の概念には注意する必要があります。例えば ：
- 2 つの垂直な平面には平行線を含めることができます
- 3 番目の平面に垂直な 2 つの平面は必ずしも平行ではありません (立方体の面を参照)。
ただし、いくつかのプロパティが残っています
- 2 つの平面が垂直である場合、一方に平行な平面は他方にも垂直です
- 2 つの平面が平行な場合、一方に垂直な平面は他方にも垂直です。
ユークリッド幾何学における垂直部分空間の一般概念
ユークリッド空間では、一方のベクトルが他方のベクトルに直交する場合、2 つのベクトル部分空間は直交していると言われます。その後、それらは自動的に直接和になります。したがって、3 次元ユークリッド空間の 2 つの平面は直交することはできません。
2 つのベクトル部分空間が直交しているのは、それらの直交補足部分が直交している場合です。したがって、3 次元空間の 2 つのベクトル平面は、その法線が直交する場合に垂直になります。