導入
面積または表面積は、表面積の尺度です。換喩として、私たちはこの測定値を「表面積」という用語自体で表すことがよくあります（たとえば、表面積について話すべきときに「アパートの表面積」について話します）。 「面積」という用語 (低地ラテン語aeraから: 「平面空間」) は数学で使用されますが、他の分野では「表面積」が好まれます。
実際には、表面積は、アパートの価格、農地の収量、または表面を着色するために使用する塗料の量を決定するために使用されます。国際単位系における面積の単位は平方メートル(m²) ですが、土地の場合はヘクタール ( 1 ha = 10,000 m² ) がよく使用されます。
農地の表面積の決定、そしてその後の抽象図形の決定は幾何学の起源であり、この科学と数学一般の発展における重要な原動力でした。
数学的な観点から見ると、曲面の面積は正の実数であり、加法性 (曲面が共有されている場合、各部分の面積の合計は初期曲面に等しい) と保存の特性に応答します。アイソメトリ(サーフェスを移動してもその面積は変更されません)。複雑な曲面の面積は、これらの特性と、辺 1 の正方形の面積が 1 に等しいという事実を使用して、切り取り、移動、貼り付けによる推論を使用して決定されます。これには、限界までの通路やその他の方法が追加される可能性があります。積分計算など。
プロパティ
平面の面積Sは、次の 4 つの特性に従います。
- 平面の面積は正またはゼロの数値です。
- 選択された長さの単位、辺 1 の正方形の面積は 1 に等しくなります。
- 面積は加算的です。これは、2 つの互いに素な表面AとBの面積が与えられている場合、それらの結合面積はそれらの面積の合計であることを意味します。
- S ( A∪B ) = S ( A ) + S ( B )。
- このプロパティは次のように解釈できます。図形を「カット」すると、追加された領域が開始領域に戻る 2 つの図形が得られます。
- 表面積はアイソメトリ下では不変です。これは、表面積を変更せずに、Figure を移動または反転できることを意味します。
加法性の性質は帰納法によって 2 より大きい任意の自然数nに拡張されます。 A 1 、 A 2 、… A nがそれぞれの面積S ( A 1 )、 S ( A )を持つ 2 行 2 列の素曲面である場合2 )、… S ( A n )、その後
- S ( A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ) = S ( A 1 ) + S ( A 2 ) + … + S ( A n )
これはより厳密に指摘されています:
- $$ {S\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n S(A_k).} $$
しかし、この有限加法性の性質は、円盤の面積を計算する公式を証明するだけであれば十分ではありません (以下を参照)。したがって、これは、面積が既知であると仮定される 2 × 2 の素な平面 ( A n ) n ∈ N ∗の可算無限群に拡張され、結果は前のものと同様になります。
- $$ {S\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) = \sum_{k=1}^\infty S(A_k).} $$
次に、σ 加法性 (「シグマ加法性」) について話します。
地域の問題
円を正方形にする
面積の問題は、少なくともアナクサゴラス (紀元前5世紀) から、フェルディナンド フォン リンデマンが π が超越数であることを証明した 1882 年まで、何世紀にもわたって行われてきました。つまり、定規とコンパスを使って円を二乗する問題です。 、指定された円盤の面積と等しい面積を持つ正方形。
面積と周囲の混同
周囲長は、面積とともに、平面幾何図形の2 つの主要な測定値の 1 つです。これら 2 つの概念を混同したり、一方が優れているほど他方も優れていると信じることがよくあります。実際、幾何学的図形を拡大 (または縮小) すると、その面積と周囲長が同時に増加 (または減少) します。たとえば、ある土地が 1:10,000 の縮尺で地図上に表示されている場合、土地の実際の周囲長は、表示の周囲長に 10,000 を乗じて計算でき、面積は表示の周囲長に 10 を乗算して計算できます。 000 2 .ただし、図形の領域と周囲の間には直接的なつながりはありません。たとえば、面積が 1平方メートルの長方形の寸法はメートル単位で 0.5 と 2 (つまり周囲が5 mに等しい) だけでなく、0.001 と 1000 (つまり周囲が2,000 mを超える) を持つこともできます。プロクロス ( 5世紀) は、ギリシャの農民が周囲に応じて「公平に」田畑を共有していたが、面積は異なっていたと報告しています。しかし、畑の生産量は周囲ではなく面積に比例します。一部の素朴な農民は周囲が長い畑を手に入れることができましたが、平凡な面積（したがって収穫量）は得られませんでした。
アイソペリメトリー、最小表面
アイソペリメトリーは、特に、特定の周囲に対して可能な最大の表面積を見つけるという問題を扱います。答えは直感的にわかります。それはディスクです。特にスープの表面の目が円形である理由はこれで説明されています。
この一見無害な問題は、厳密な実証を得るために洗練された理論を必要とします。等周問題は、認可された表面を制限することによって単純化される場合があります。たとえば、常に指定された周囲長に対して、可能な限り最大の面積を持つ四角形または三角形を探します。それぞれの解は正方形と正三角形です。一般に、特定の周囲長で最大の表面積を持つn 個の頂点を持つ多角形は、円に最も近い多角形であり、それが正多角形です。
アイソペリメトリーはこれらの問題に限定されません。また、さまざまなジオメトリを備え、特定の周囲で可能な限り最大の面積を持つゾーンを探します。たとえば、半平面の場合、答えは半円板になります。
この概念は、アイソペリメトリックと呼ばれる一連の定理、アイソペリメトリック不等式と呼ばれる加算、およびアイソペリメトリック商と呼ばれる比を生み出します。等周不等式は、周長pと面積aの表面が次の増加を満たすことを示します。
- $$ {\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1} $$
左側の項は等周商と呼ばれ、表面が円盤である場合にのみ 1 に等しくなります。
この疑問の起源が少なくとも 2,900 年前に遡るとすると、ミンコフスキーの定理から導き出された方法を使用して、この疑問が古代の形で決定的に解決されたのは 1895 年のことでした。これらの方法により、 等周定理を実証し、ユークリッド幾何学の場合にはそれを高次元に一般化することが可能になります。
3 次元空間における等周測定問題は、指定された領域の表面に含まれる最大体積を検索することで構成されます。答えは球であり、特にシャボン玉の形になります。
この問題の基本的な側面については、等周測定の記事を参照してください。より洗練された数学ツールを使用した答えの要素は、「等周定理」の記事で提案されています。
最小表面は、特定の制約の下で、その各点の近傍の領域を最小化する 3 次元空間内の表面です。これは、この表面積が少し変化すると面積が大きくなるということを意味します。特定の制約セットに対して、いくつかの最小サーフェスが存在する可能性があります。最小限の表面は、フレーム上にある石鹸膜によって自然に取り込まれます。これは、そのような表面が膜にかかる力も最小限に抑えるためです。このような曲面の探索は数学ではプラトー問題と呼ばれ、微分積分の推論が必要です。
広いエリア
逆に、与えられた体積に対して、可能な限り最大の表面積を持つ図形を取得するという問題が発生します。数学的に単純な解決策が存在します。厚みのない表面の体積はゼロです。このような形態は自然界でも見られます。緑色の植物の葉は、光合成を促進するために可能な限り大きな表面を太陽にさらすために、一般に非常に薄いですが幅が広くなります。しかし、葉の葉身の表面積が大きいと蒸散も促進され、干ばつ期間と戦わなければならない植物（松、サボテンなど）は、表面積を減らすために葉を厚くし、乾燥と戦うことがよくあります。外。 。
もう 1 つの可能な戦略は、固体を取り出し、ドリルで多数の穴を開けることです。たとえば、メンジャーのスポンジは、3 つの次元のそれぞれに沿って 3 つの等しいスライスに分割された立方体から構成されています。これにより 27 個の等しい立方体が得られ、中央の立方体を削除します。次に、20 個の立方体で構成される、以前のものよりも体積が小さく、面積が大きい新しい固体を取得します。次に、これら 20 個の立方体それぞれに対して同じプロセスを繰り返し、次に、得られた立方体に対して再度同じ処理を繰り返します。このプロセスを無限に繰り返すことにより、無限の面積とゼロに等しい体積を持ち、同時に開始立方体の寸法 (長さ、幅、深さ) と等しいフラクタルオブジェクトが得られます。メンジャーの海綿のような非常にギザギザの形状は、2 つの環境間の交換を促進する場合に自然界で見られます。たとえば、哺乳類の肺 (少ない体積でガス交換を最大化するため)、えら、腸などです。
材料の比表面積は、単位質量あたりの表面積です。比表面積が大きいほど、物体はその環境と交換できる量が多くなり、多孔質になります。特に、比表面積は土壌の重要な物理的特性であり、栄養素を保持し、植物と交換する能力を決定します。