導入
数学において、実数は有理数から構成されるオブジェクトであり、長さおよびその他の物理量の概念をモデル化します。
Rで示される実数のセットは、有理数のセット(分数として記述できる) と、2 の平方根や π など、 10 進展開が無限非周期である数値のセットの和集合です。これらは無理数と呼ばれます。実数の中では、代数数と超越数も区別されます。
実数という用語は、1883 年にゲオルク カントールの集合論の基礎に関する著書で登場しました。これは虚数の発見に応じて与えられたレトロニムです。しかし、それはすでに 1689 年に Prestet と Malebranche の本に、そしてその直後の 1697 年に Thomas Fantet de Lagny の本に登場しています。数学におけるいくつかの単語の初期の既知の使用のサイトによると、形容詞real は1637 年にルネ デカルトによって、想像上の根に対抗して初めて使用されました。神学・哲学の論文には他の意味も同時に現れます。
実数は実数解析という数学的分野の中心であり、その歴史の多くは実数に負っています。実数のセットの元の表記法は次のとおりです。
日常生活の中で
実数は、製品の価格、2 つのイベントの間の期間、地理的サイトの高度(正または負)、原子の質量、または最も近い銀河までの距離などの物理的測定値を表すために使用されます。これらの測定値は測定単位の選択に依存し、結果は実数と単位の積として表されます。実数は、経済学、コンピュータサイエンス、数学、物理学、工学などで日常的に使用されています。
ほとんどの場合、実数の特定のサブセットのみが使用されます。
- 自然数、
- 相対整数、
- 10 進数。基数 10 で正確に記述できる実数です。
- 分子と分母を整数にした分数として表現できる有理数、
- 代数的数。これには、特に 4 つの基本演算と根を使用して記述できるすべての数が含まれます。
- 計算可能な数値。科学と工学で使用されるほぼすべての数値 (特に e と π) が含まれます。
これらの実数のサブセットはすべて無限基数ですが、すべて可算であるため、実数のセットのごく一部のみを表します。それぞれに独自の特性があります。有理数と代数数の 2 つは数学者によって特に研究されています。私たちは、合理的ではない現実を「非合理的」と呼び、代数的ではない現実を「超越的」と呼びます。
科学では
物理学では、次の 2 つの重要な理由から、測定値の表現に実数が使用されます。
- 物理計算の結果には、物理的な意味がないため、物理学者が推論の際にこれらの値の性質を考慮せずに、合理的ではない数値が頻繁に使用されます。
- 科学では、瞬間速度や加速度などの概念が使用されます。これらの概念は、一連の実数が理論的に必要である数学理論から来ています。さらに、一連の測定値が実数空間である場合、これらの概念は強力かつ不可欠な特性を持ちます。
一方、物理学者は無限の精度の測定を実行することはできません。計算結果の数値表現は、 10 進数で必要なだけ正確に近似できます。現在の物理学の状態では、無限に正確な測定を実行することは理論的にさえ不可能です。これが、実験と理論の両方のニーズのために、物理学者が測定値を計算する場合に必要となる理由です。
このように、物理学者は実数の特性を利用して、自分が行う測定に意味を与え、自分の理論を実証するための強力な定理を提供することができます。数値の場合は10進数を使用します。完全な円上の物質点が移動する距離を測定するとき、彼はその存在を疑問視することなく値 π を使用しますが、多くの場合、計算には少数の小数点以下の桁数で十分です。
最後に、実数はあらゆる物理量を表すことができますが、実数は多くの物理的問題の研究には最適ではありません。実数を中心に構築された「スーパーセット」は、特定の物理空間を操作できるように作成されました。例えば ：
- 空間$$ {\mathbb{R}^n } $$、たとえば次元 2、3 (またはそれ以上) の空間をモデル化します。
- 構造が実数のセットよりも強い特性を持つ複素数のセット。
「無限小数展開」の概念に関するその他のコメント
あらゆる実数は「無限小数」の形式で表現できます。この定義は、収束数列の極限など、数学者が一般的に使用する他の定義よりも単純に見えるかもしれません。しかし、それはすぐに不適切であることがわかり、より複雑な定義とデモンストレーションが必要になります。実際、実数は、それらが形成する集合の構造と特性、つまり加算、乗算、順序関係、およびこれらの概念を結び付ける特性にとって興味深いものです。これらの特性は、「無限小数展開」の定義にはあまり反映されておらず、理論上の問題が生じます。
- 一部の数値には 2 つの表現があります。
- 10 進数展開を使用すると、基数 10 が特別な役割を果たします。
- この困難は克服できないものではありません。これは任意の基数を使用することで解決されます。次に、基数 p での展開について説明します。これらの基底から構築された集合が同型であること、および実数の性質がこれらすべての基底で有効であることを証明することができます。しかし、実証は煩雑になり、定義は単純さを失います。
- 最後に、加算または乗算を実行するための自然なアルゴリズムには、10 進数の二重表現による限界が見つかります。
- 実際、「保持」は右から左に計算され、効果的なアルゴリズムでは、有限数の小数点以下の桁数のみを処理する必要があります (有限数の演算しか実行できないため)。つまり、数値を切り捨てる必要があります。したがって、必要なだけ切り捨てると、たとえば0.33.. .+0.66…=1 の計算のように、まったく正確な小数点が得られなくなる可能性があります。この困難を克服するには、収束の概念に頼る必要があり、それは当然、実数の定義の他のモードにつながります。
ただし、実数のセットの構造が確立されると、数値の正確な小数点以下の桁数が重要ではなく、むしろ数値の位置が重要であることに留意しながら、10 進展開表記を使用すると効果的な計算が可能になります。他の実数に。