導入
正の実数xの平方根は、2 乗がxである正の数です。留意します
紀元前18世紀の粘土板。紀元前は、バビロニア人が2 の平方根とそれを計算するアルゴリズムを知っていたことを示しています。
すべての正の実数x は平方根を持ち、それ自体が実数です。整数nの平方根は整数または無理数のいずれかです。つまり、分数として表すことはできません。平方根は無理数の発見の起源ですが、一般に信じられていることに反して、2 が最初に知られた無理数であることを保証するものは何もありません。論理学の創始者の一人であるアリストテレスが選んだ不条理による証明の例は、 2の不合理性に基づいています。比例して、奇数は偶数と等しくなります。 »
ルネサンス時代、数学者は負の数の平方根を定義するように導かれ、それが複素数の出現につながりました。平方根の抽出は 5 番目の「古典的な操作」であり、関数としても見られます。
歴史
既知の最古の平方根は紀元前 1700 年頃に出現します。タブレット YBC 7289 上の BC。これは、片面に数字 30 があり、対角線に沿って近似値 √2 がある正方形の表現です。
実際の機能
アプリ
分析
平方根関数は、すべての正の実数xおよびyに有効な次の基本プロパティをチェックします。
- $$ {\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}} $$
- $$ {\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}} $$
- $$ {\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}} $$(条件下では$$ {y\neq 0} $$)
- $$ {\sqrt{x^2} = |x|} $$。
ルート関数は、すべての正の実数xで連続です ( y がxに近い場合、
から派生した関数
- $$ {\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}} $$
ルート関数は実際にはクラスです
- $$ {\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}} \frac{1}{x^{n-1/2}}} $$
さらに良いことに、ルート関数は整数列に展開できます。点 1 における平方根関数のテイラー級数展開は、一般化された二項公式からすぐに得られます。
- $$ {\sqrt{1+h}=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}}h^n} $$
- $$ {=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n} $$
- $$ {=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\binom{2n}{n}}{(2n-1)2^{2n}}h^n} $$
- $$ { = 1 + \frac{1}{2}h – \frac{1}{8}h^2 + \frac{1}{16} h^3 – \frac{5}{128} h^4 + \cdots} $$
すべての本物のために | h | <1.
平方根の幾何学的構造
次の幾何学的構築は、定規とコンパスを使用して実行され、長さaのセグメント OB が与えられた場合、長さのセグメントを構築できます。
セグメント OH の長さは次のとおりです
証明はピタゴラスの定理を適用することで構成されます。
したがって、OH 2 + a 2 = (a+1) 2 – (1 2 + OH 2 )、または単純化すると OH 2 = a となり、したがって、
この構築は構築可能な数の研究において重要です。