代数幾何学 - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

代数幾何学は、歴史的に、和と積のみを含む方程式を座標で検証する幾何学的オブジェクト (曲線、曲面など) に最初に興味を持った数学の分野です (たとえば、正規直交座標系と呼ばれる平面内の単位円は認められます)。方程式x ² + y ² = 1の場合）。この定義の単純さは、多数のオブジェクトを包含し、豊富な理論の開発を可能にすることを意味します。理論上の必要性により、数学者は、その研究が単純な代数幾何学をはるかに超えて応用できる、より一般的なオブジェクトを導入することを余儀なくされました。たとえば、数論では、これはフェルマーの大定理の証明につながりました。

この数学の分野は、その一部の由来となった解析幾何学とはもはやあまり関係がありません。

歴史

この種の最初の研究はアラビア数学に遡ります。 Omar Khayyam は、円と放物線の交差によって 3 次方程式を解く方法を提案しました。彼は、三角法と関数近似を組み合わせて、代数方程式を解くための幾何学的手法を取得しました。この数学の分野は現在、幾何代数と呼ばれています。

デカルトの「幾何学」は、解析幾何学の方法を使用した代数曲線の研究の始まりであり、この分野の起源における 2 番目の主要なステップを示しています。

厳密に言えば、代数幾何学がそれ自体幾何学に属するものとして登場したのは 20世紀初頭になってからです。これは19^世紀末のイタリア学派 (エンリケス、キシーニ、カステルヌオーヴォ、セグレなど) によって始められました。これらの幾何学は、投影空間 (実数および複素数) の曲線と曲面を研究しました。彼らは、ベズーの定理を幾何学的に解釈するために、隣接点と近接点の概念を導入しました。イタリアの学校のかなり自由なスタイルは、現在の厳格さとは程遠いものです。フランス人エミール・ピカールの活動により、ディバイダーのグループと彼の名を冠したグループが誕生しました。ドイツのマックス・ネーターの研究にも言及できます。

1930 年以降、アメリカ (ザリスキー、マムフォード…)、ドイツ (ネーター、ブラウアー)、ロシア (コルモゴロフ…)、フランス (ヴァイル、シュヴァレー…) の学派は、より代数的な形式で品種の研究を発展させました。基本的に環理論を使用して任意の可換体上で。

1950 年代に、サミュエル、アンリカルタン、セール、アレクサンドルグロタンディークの指導の下、フランス学校の活動によって完全に変革されました。

10年にわたって、この分野は成長し、代数多様体の幾何学に関する古典的な質問に答えました。数論への応用はすぐに見つかりました。ジャン・ピエール・セールとアレクサンダー・グロタンディークは梁理論の基礎を確立し、ダイアグラムの概念は 1960 年頃に確立されました。

フェルマー・ワイルズの定理の証明は、代数幾何学の概念である楕円曲線の数論への応用の注目すべき例であり、これはこの理論の大きな成功の 1 つです。

ベズーの定理

2 つの平面曲線に共通のコンポーネントがない場合、有限数の点で交差することがすぐにわかります。この数値は 2 つの曲線の次数の積によって増加します (結果を適用すると正当化できます)。したがって、円錐が直線と交わるのは最大 2 回です。ベズーの定理は、適切な枠組みを深く掘り下げれば、実際には平等であると述べています。

最初の障害は、合流点がないことです。通常、円Z ( x ² + y ² − 1)と線Z ( y − 2)は交差しません。これは代数的な問題です。この欠陥を克服するには、座標が基体の代数的閉包内に存在できるようにする必要があります。

実際には交わらない 2 本の平行線を観察すると、2 番目の障害に遭遇します。これは「地球規模」とも言える問題です。この問題は、それらが無限遠で交わることを考慮することで解決されます。より正確には点を特定します

$$ {(x,y)\in k^2} $$

原点と点を通って右へ

$$ {(x,y,1)\in k^3} $$

。他の線、つまりz =0 に含まれる線は、私たちが見逃していた点であり、これらをすべて合わせると次のようになります。

$$ {\mathbb{P}^2(k)} $$

k ² に関連付けられた射影空間。たとえば、 Z ( y ) とZ ( y -1) から始めて、次の「均質化」多様体Z ( y ) とZ ( y – z ) を関連付けます。

$$ {\mathbb{P}^2(k)} $$

、つまり。原点と点 ( z =1, y =0) および ( z =1, y =1) をそれぞれ通過する線だけでなく、交点である線Z ( y , z ) も見つけます。

最後の障害は、複数の接触点から来ています。放物線Z ( y − x ² )と直線Z ( y ) は、たとえ

$$ {\mathbb{P}^2(\mathbb{C}} $$

): 唯一の共通線 ( y =0, x =0) を持つ方程式zy – x ²=0 およびy =0 を考慮する必要があります。これを解決するには、多重性の概念を定義する必要があります。これは「ローカル」と表現できる問題です。前の例では、考慮するオブジェクトは k [X , ^Y ] / ( ^Y − .

次に、より一般的な対象を検討するようになります。微分幾何学で行われることと同様に、モデルに局所的に類似するグローバルオブジェクト (アフィン多様体)が含まれます。したがって、我々は、固有の方法、すなわち、座標系の選択を参照しない方法で、アフィン多様体を特徴付けることから始めます。その前に、交差点問題の「応用」を見てみましょう。方程式x ²+ y ²=1 は、原点を中心とし半径 1 の円を表します。この円は点 (-1,0) を通過するため、この点を通過する線は円と「交差する必要があります」(アプリオリにおそらく無限に複雑な点について…)。このような直線は、許可されている限り、その傾き t によって「特徴付け」られます。

$$ {t=\infty} $$

垂直線x =-1 の場合 (要約すると、特定の点を通過する一連の線は射影線によってパラメータ化されます)。このような直線 D_t は、方程式 y=t(x+1) で、ある点で円と交差し、次のことが検証されます。

$$ {0=t^2(x+1)^2+x^2-1=(t^2+1)x^2+2t^2x+(t^2-1)=(t^2+1)(x+1)(x-\frac{1-t^2}{t^2+1})} $$

ここで、開発した後、明白な根によって因数分解します (D_t は (-1,0) を通過するため) x =-1。したがって、もう一方の交点は、

$$ {\left(\frac{1-t^2}{t^2+1},t\left(\frac{1-t^2}{t^2+1}+1\right)\right)=\left(\frac{1-t^2}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1}\right)} $$

、のために

$$ {t\in k} $$

および (-1.0)

$$ {t=\infty} $$

(の場合は注意してください)

$$ {\mathcal{R}} $$

これは制限と一致します)。 ( cosθ,sinθ ) の実パラメータ化と比較すると、これには有理関数(和、積、除算) のみが含まれるという利点がありますが、コサインとサインは含まれません。

このようなパラメータ化は、いくつかの問題の解決に役立ちます。これは確かにピタゴラスのトリプルの記述につながり、また、 cosθ、sinθの任意の有理関数を積分することも可能になります（図と中心の角度の定理を考慮すると、これは変数の変化です）

$$ {t=\tan\frac{\theta}{2}} $$

）。このようなパラメータ化が存在することは注目すべき事実です。このような曲線は一筆書きと呼ばれます。これは、たとえば次のような場合です。

二重点 (0,0) を通過する直線D _t = Z ( y − t x )によって得られる( t ³ , t ² )によってパラメータ化されたZ ( y ² − x ³ ) 、
二重点 (0,0) を通る直線D _t = Z ( y − t x )によって得られる( t ² − 1, t ³ − t )によってパラメータ化されたZ ( y ² − ( x + 1) x ² ) 。

しかし、これは、 n >2 のx ⁿ + y ⁿ = 1の場合ではありません。そうでない場合、有理パラメータを使用すると、有理係数を持つ無限の解が得られます ((1,0) が既に存在するため)。これは、フェルマーの偉大な理論と矛盾します。定理。 [そして楕円積分についてのちょっとしたこと…]

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参考資料

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