零能内部同型について詳しく解説

導入

次元 3 のゼロポテント同型写像による基底の画像の例。

零ポテント同型写像は、数学的オブジェクト自体への写像であり、それ自体が十分な回数合成されると、零写像が得られます。したがって、(このオブジェクトの準同型性がリングを形成するとき)、それはこのリングの零元要素になります。

線形代数では、ベクトル空間の零同同型性を考慮します。例を図に示します。それらは、内部同型性の低減、つまり、最も単純な形式での内部同型性の表現に関与します。この縮小は、たとえば線形微分方程式を解くために使用されます。

また、虚能の概念は、虚能リー代数の分析によるリー群の研究でも見つかります。

ベクトル空間の虚同型写像がこの記事の主な焦点です。この空間が有限次元の場合、その準同型性のそれぞれは (関係するベクトル空間の基底で) 行列によって表されます。そして、その内部同型性は、それが虚能行列を持っている場合に限り、零能性になります。これにより、計算を通じて、この概念へのより具体的なアプローチが可能になります (零能内部同型性のすべての一般的な性質は、零能性行列のより特殊なコンテキストで対応するものになります)。重要な実用的なアプリケーションを提供します。

意味

E を体K上のベクトル空間とし、 u をEの準同型性とします。準同型性u は、 u ⁿ = 0 となる整数n > 0 が存在する場合に限り、零同型であると言われます。この性質を満たす最小の自然数n は、準同型性 u の (零ポテンス) インデックスと呼ばれます。

x をEのベクトルとし、 x のインデックス(零同型写像uの場合) をu ^p (x) = 0 となる最小の自然数pと呼びます。

Eの巡回部分空間(零同型写像uの場合) は、(x, u(x), u 2 (x), …, u p -1 (x) の形式の族によって生成されるEのベクトル部分空間^です。 ) 、ここで、 x はインデックスpを持つベクトルです。

プロパティ

この例は、零能準同型性の本質的な特性を示しています。そこでは、内部同型性とベクトルのインデックスに関する特性、多項式のおかげで必要十分条件が見つかります。適切な空間への分解と還元された塩基の存在を伴う還元。虚数行列の計算特性については、記事「虚数行列」で説明されています。

無電位と指数

零ポテント同型性のインデックスには、次の 2 つの主な特性があります。

• 零能同型性のインデックスは、空間の次元以下です (実証のために、シーケンス ( k e r f ⁿ ) を使用することを考えてください)。
• 準同型性のインデックスをもつベクトルが存在します。

有限次元の零ポテンスと多項式

多項式は、零ポテンスの必要十分条件を提供するだけでなく、指数に関する情報も提供します。

• 準同型性は、その 特性多項式が( −X ) ⁿに等しい場合、または n が空間の次元である場合に限り、零同型です。
• 内部同型性は、その最小多項式がX ^pに等しい場合、またはp が内部同型性のインデックスである場合に限り、零能です。
• ベクトルxの最小多項式は以下に等しい
  $$ {X^{p_x}\;} $$
  ここで、 p _{x は}ベクトルxのインデックスです。

零ポテンスと有限次元削減

リダクション原理は、ベクトル空間の安定した部分空間の直接和分解を見つけることで構成されます。ゼロポテント同型写像用のものが 1 つあります。ジョーダン還元にも対応しています。このアプローチは、準同型性の解析に一般的です。ゼロテント同型性の場合、それは還元塩基の概念と密接に関連しています。ゼロベクトルに還元されないベクトル空間Eの零同同型写像uは、次の特性を満たします。

• もし
  $$ {x\;} $$
  インデックス p を持つベクトルであり、ファミリーです
  $$ {(x, u(x),…u^{p-1}(x))\;} $$
  無料です。したがって、それが生成する循環部分空間の基礎となります。
• Eの安定部分空間F (特に巡回部分空間) については、 uの制限によって得られるFの準同型性も零です (したがって、 F n ‘ がゼロにならないとすぐに、このリストのすべての性質が満たされます)ベクター）。
• u は一意の固有値 0 を持ちます (特に、そのカーネルはゼロ ベクトルに還元されません)。
• E は、ゼロ ベクトルに還元されない巡回部分空間の直接和です。
• このような分解は、ゼロ ベクトルに還元されない安定部分空間の直接和へのEの他の分解が最大でも同じ数の部分空間で構成されるという意味で、「最大」です。