導入
数学、特に線形代数において、超平面は特定のベクトル部分空間です。
意味
E を
$$ {\mathbb K} $$
-ベクトル空間とH Eのベクトル部分空間。H が共次元 1 の場合、 H は E の超平面であると言います。
備考：
- したがって、有限次元n の空間では、超平面は次元 n-1 のベクトル部分空間になります。
- で$$ {\mathbb{R}^3} $$、超平面の概念は平面の概念と混同されますが、空間の次元が 3 より大きい場合、これは当てはまりません。
線形シェイプへのリンク
超平面がまさに非ゼロ線形形式のカーネルであることを示します。
つまり、H は E の超平面です。
$$ {\Longleftrightarrow \exists \phi \in E^*\backslash\{0\}, \ H=\ker \phi} $$
H を E の超平面とする。H がカーネルである非ゼロ線形形式を構築しようとします。
H は超平面であるため、定義により、1 に等しい次元の E の補足が認められます。したがって、これは、
$$ {x_o \in E-H} $$
(x o は0 を含む H に属さないため、0 にすることはできません)。したがって、私たちは- $$ {E=H \oplus x_o K} $$
- $$ {x=\underbrace{x_H}_{\in H}+\underbrace{ \lambda x_o}_{\in x_o K}, \quad (\lambda \in K)} $$
申請してみよう
$$ {\varphi: E \longrightarrow K} $$
E の任意のベクトルを持つものは、次の分解で x oに関連付けられたスカラーを関連付けます。 $$ {H \oplus x_o K } $$
。それではそれを示しましょう$$ {\varphi} $$
は線形です: E から 2 つの任意のベクトル x と y を取得し、これらを上記のように分解します。 - $$ {x=x_H+\lambda x_o \quad \mathrm{et} \quad y=y_H+\mu x_o} $$
スカラーを取ることによって
$$ {a \in K} $$
取得したもの: - $$ {\begin{array}{ll} \varphi(ax+y)&=\varphi \left(a(x_H+\lambda x_o)+(y_H+\mu x_o)\right)\\ &=\varphi ((\underbrace{ax_H+y_H}_{\in H})+(\underbrace{a\lambda + \mu )x_o}_{\in x_o K})\\ &=a\lambda + \mu\\ &=a\varphi(x)+\varphi(y) \end{array}} $$
それはそれを示しています
$$ {\varphi} $$
は線形であり、さらにその到着集合は K であるため、確かに線形形式です。さらに、それはゼロではありません (たとえば、x oにはイメージ 1 があります)。を取ってみましょう
$$ {x_H \in H} $$
。したがって、分解するとx H = x H + 0 x oとなります。 $$ {\varphi(x_H)=0} $$
したがって$$ {x_h \in \ker \varphi} $$
。したがって、私たちは$$ {H \subset \ker \varphi} $$
。逆に言うとどちらか
$$ {x \in \ker \varphi} $$
。この場合、このベクトルは x oによって生成されたものではないため、H に属します。 したがって、次のようになります。 $$ {\ker \varphi \subset H} $$
したがって、二重包含によって$$ {H=\ker \varphi} $$
。- したがって、H は非ゼロ線形形式のカーネルです。
逆に言うとどちらか
$$ {\varphi} $$
非ゼロの線形形式と H そのカーネル。 H が E の超平面であることを示しましょう。これを行うために、H が次元 1 の補足を許容することを示します。 $$ {\varphi} $$
は非ゼロなので、次のような E の非ゼロベクトル x oが存在します。 $$ {\varphi(x_0) \neq 0} $$
。それではそれを示しましょう$$ {E=H\oplus x_o K} $$
。 x を E に置きます。 $$ {\varphi (x_o) \neq 0} $$
、次のトートロジーを書くことができます。 - $$ { x=\underbrace{x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o}_{=x_H} + \underbrace{ \frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)}x_o}_{=y}} $$
それは明らかです
$$ {y \in x_o K} $$
なぜなら$$ {\frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)}} $$
確かにKにあります。一方で：
- $$ { \begin{array}{ll} \varphi(x_H)&=\varphi\left(x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o\right)\\ &=\varphi(x)-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}\varphi(x_o)\\ &=\varphi(x)-\varphi(x)\\ &=0 \end{array}} $$
それで
$$ {x_H \in \ker\varphi=H} $$
。言い換えると、E のベクトルは、x oによって生成されたベクトル線の要素とカーネル H の要素の和、つまりE = H + x o Kに分解されます。この和が直接和であることを示しましょう。どちらか
$$ {x \in H \cap x_o K} $$
。したがって、 x = λ x oと書くことができます。 $$ {\lambda \in K} $$
。など$$ {\varphi (x) =\lambda \varphi(x_o)} $$
。しかし、x は H にあるので、次のようになります。 $$ {\varphi(x)=0} $$
。つまり、 λ = 0 (なぜなら$$ {\varphi(x_o) \neq 0} $$
) したがって、x=0。したがって、 $$ {H \cap x_o K = \{0\}} $$
そして合計は直接です。したがって、
$$ {E=H\oplus x_o K} $$
または、定義により:- H は E の超平面です。
この結果の解釈は、
$$ {\mathbb{R}\,\!} $$
-ベクトル空間$$ { \mathbb{R}^3} $$
:すべての直線形状がオン
$$ { \mathbb{R}^3} $$
は次の形式で記述できます。 $$ {\phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y,z) \mapsto ax+by+cz} $$
と$$ { (a,b,c) \in \mathbb{R}^3} $$
修理済み。前の結果から、次の超平面は次のようになります。 $$ { \mathbb{R}^3} $$
線形形式のカーネルとして書くことができます。言い換えると$$ { H=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / \ \phi(x,y,z) = ax+by+cz=0\}} $$
超平面と線形核の間のこのリンクは、実際には超平面の方程式の概念、したがってここでは (ベクトル) 平面の方程式の概念を表しています。
特性評価
次のプロパティが同等であることを示します。
- H は超平面です
- 次のような線分Dが存在します。 $$ { E=H \oplus D} $$
- $$ {\forall e \in E \backslash H, \quad E=H \oplus e \mathbb{K}} $$
部分空間の表現
F を有限次元ベクトル部分空間とする。
この部分空間は、独立した超平面の有限交差として表すことができます。この定理については、 「双対空間」の記事で詳しく説明されています。
vdm | ||
|---|---|---|
| ベクトル • スカラー • 線形結合• ベクトル空間 • 行列 | ||
| ベクトルファミリー | 生成族 • 自由族（線形独立） • 基底 • 不完全基底定理 • ランク •共線性 |  |
| 亜空間 | ベクトル部分空間 • 集合の和 • 直接和 • 補助部分空間 • 次元 • 余次元 • 線分 • 平面 •超平面 | |
| 形態論と関連する概念 | 線形応用 • カーネル • コーカーネル • カーネル補題 • 擬似逆行列 • 因数分解定理 • ランク定理 • 線形方程式• 連立一次方程式 • ガウス・ジョルダン消去法 • 線形形式 • 双対空間 • 直交性 • 双対基底 • 内部同型線形 •固有値、固有ベクトルと固有空間 • スペクトル • プロジェクター • 対称性 • 対角化可能行列 • 対角化 •冪能同型性 | |
| 仕上がり寸法で | 有限次元ベクトル空間• トレース • 行列式 • 固有多項式• 内部同型多項式 • ケイリー・ハミルトンの定理 • 内部同型の最小多項式• 相似不変量 • 内部同型縮約 • ジョルダン還元 • ダンフォード分解 •フロベニウスの分解 | |
| 構造の強化 | ノルム • ドット積 • 二次形式 • 位相ベクトル空間 • 方向性 • 体上の代数• リー代数 •微分複素数 | |
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